$\sum\frac{1}{b(a+b)}\geq\frac{3}{2}$

Dang_Phuc · 27-10-2014, 11:36 PM

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$
$\sum\frac{1}{b(a+b)}\geq\frac{3}{2}$
---------------------------------------------------------

tuankietpq · 28-10-2014, 04:32 PM

Chúng ta sẽ thuần nhất bất đẳng thức này. Vì điều kiện là $abc=1$ nên chúng ta có thể đặt
$a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
$\frac{x^2}{xy+z^2}+\frac{y^2}{yz+x^2}+\frac{z^2}{ zx+y^2}\ge \frac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Swcharz
$\frac{x^2}{xy+z^2}+\frac{y^2}{yz+x^2}+\frac{z^2}{ zx+y^2}=\frac{x^4}{x^3y+x^2z^2}+\frac{y^4}{y^3z+x^ 2y^2}+\frac{z^4}{z^3x+y^2z^2}\ge \frac{\left( x^2+y^2+z^2 \right)^2}{x^3y+y^3z+z^3x+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$
Do vậy ta chỉ cần chứng minh
$\frac{\left( x^2+y^2+z^2 \right)^2}{x^3y+y^3z+z^3x+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge \frac{3}{2}$
Hay là
$2\left( x^4+y^4+z^4 \right)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge 3\left( x^3y+y^3z+z^3x \right)$
Theo bất đẳng thức AM – GM thì
$\sum{\left( x^4+x^2y^2 \right)}\ge 2\sum{x^3y}$
Do đó chỉ cần chứng minh được
${x^4+y^4+z^4}\ge {x^3y+y^3z+z^3}x$
Cũng theo bất đẳng thức AM – GM
${x^4+x^4+x^4+y^4}\ge 4{x^3y}$
Xây dựng thêm hai bất đẳng thức tương tự nữa rồi cộng lại ta có đpcm.

27-10-2014, 11:36 PM	#1
Dang_Phuc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2014 Đến từ: Quảng Trị Bài gởi: 19 Thanks: 4 Thanked 1 Time in 1 Post	$\sum\frac{1}{b(a+b)}\geq\frac{3}{2}$ Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$ $\sum\frac{1}{b(a+b)}\geq\frac{3}{2}$ --------------------------------------------------------- thay đổi nội dung bởi: Dang_Phuc, 27-10-2014 lúc 11:40 PM

28-10-2014, 04:32 PM	#2
tuankietpq +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2014 Đến từ: Trên mặt đất, dưới mặt trời Bài gởi: 220 Thanks: 48 Thanked 118 Times in 80 Posts	Chúng ta sẽ thuần nhất bất đẳng thức này. Vì điều kiện là $abc=1$ nên chúng ta có thể đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$ Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $\frac{x^2}{xy+z^2}+\frac{y^2}{yz+x^2}+\frac{z^2}{ zx+y^2}\ge \frac{3}{2}$ Áp dụng bất đẳng thức Swcharz $\frac{x^2}{xy+z^2}+\frac{y^2}{yz+x^2}+\frac{z^2}{ zx+y^2}=\frac{x^4}{x^3y+x^2z^2}+\frac{y^4}{y^3z+x^ 2y^2}+\frac{z^4}{z^3x+y^2z^2}\ge \frac{\left( x^2+y^2+z^2 \right)^2}{x^3y+y^3z+z^3x+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$ Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{\left( x^2+y^2+z^2 \right)^2}{x^3y+y^3z+z^3x+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge \frac{3}{2}$ Hay là $2\left( x^4+y^4+z^4 \right)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge 3\left( x^3y+y^3z+z^3x \right)$ Theo bất đẳng thức AM – GM thì $\sum{\left( x^4+x^2y^2 \right)}\ge 2\sum{x^3y}$ Do đó chỉ cần chứng minh được ${x^4+y^4+z^4}\ge {x^3y+y^3z+z^3}x$ Cũng theo bất đẳng thức AM – GM ${x^4+x^4+x^4+y^4}\ge 4{x^3y}$ Xây dựng thêm hai bất đẳng thức tương tự nữa rồi cộng lại ta có đpcm. __________________ Kẻ mạnh đôi khi không phải là kẻ chiến thắng mà kẻ chiến thắng mới là kẻ mạnh.