Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Chọn Đội Tuyển Trường

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 21-08-2016, 01:34 PM   #1
Gin Mellkior
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 86
Thanks: 226
Thanked 60 Times in 27 Posts
Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên Bảo Lộc (Lâm Đồng)

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẢO LỘC (LÂM ĐỒNG)


LẦN I
Câu 1 (4 điểm): Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left ( u_{n} \right )$, biết:
$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\dfrac{1}{2},\,\,\,\, u_{2}=673 & & \\ u_{n+2}=\dfrac{2\left ( n+2 \right )^{2}u_{n+1}-\left ( n^{3}+4n^{2}+5n+2 \right )u_{n}}{n+3},\,\,\,\, n\in \mathbb{N},\,\,\,\, n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$$

Câu 2 (4 điểm): Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $\left ( O \right )$. Tiếp tuyến của $\left ( O \right )$ tại $B$, $C$ cắt nhau tại $S$. Gọi $d$ là đường thẳng chứa phân giác trong góc $A$ của $\triangle ABC$. Các trung trực của $AB$, $AC$ cắt $d$ tại $M$, $N$. Gọi $P$ là giao điểm $BM$ và $CN$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle MNP$, $H$ là trực tâm $\triangle OMN$.
$\qquad a)$ Chứng minh $H$, $I$ đối xứng nhau qua $d$.
$\qquad b)$ Chứng minh $A$, $I$, $S$ thẳng hàng.

Câu 3 (4 điểm): Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$$f\left ( xf\left ( x+y \right ) \right )=f\left ( yf\left ( x \right ) \right )+x^{2}\,\,\,\, \forall x,y\in \mathbb{R}$$

Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả cặp số nguyên dương $\left ( x;y \right )$ với $x$, $y$ nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình $2\left ( x^{3}-x \right )=y^{3}-y$.

Câu 5 (4 điểm): Cho $n$ là một số nguyên dương chẵn lớn hơn hoặc bằng $4$. Ta tô màu mỗi số trong các số nguyên dương từ $1$ đến $n$ sao cho $\dfrac{n}{2}$ trong số chúng được tô màu xanh, $\dfrac{n}{2}$ trong số chúng được tô màu đỏ. Với mỗi cách tô như vậy, gọi $f_{n}$ là số các số nguyên dương bất kì mà ta có thể viết được dưới dạng tổng hai số khác màu.
$\qquad a)$ Tìm tất cả các giá trị có thể của $f_{4}$.
$\qquad b)$ Khi $n\geq 8$ chứng minh $f_{n}<2n-3$. Hãy chỉ ra một cách tô thỏa mãn $f_{n}=2n-5$.



LẦN II
Câu 1 (3 điểm): Giải phương trình trên tập số thực:
$$\sqrt{x^{3}+x^{2}+3x-1}+\sqrt{x^{3}+6x+2}=5$$

Câu 2 (3 điểm): Cho dãy số thực $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\dfrac{3}{2} & & \\ u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}+3u_{n}^{2}-9u_{n}+\dfrac{9n+10}{n+1}-1},\,\,\,\, n\in \mathbb{N},\,\,\,\, n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$$
$\qquad a)$ Chứng minh $\left ( u_{n} \right )$ bị chặn dưới.
$\qquad b)$ Chứng minh dãy $\left ( u_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty $. Tìm giới hạn đó.

Câu 3 (3 điểm): Cho $x$, $y$, $z$ là các số dương thỏa
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$$
Chứng minh rằng
$$\dfrac{x}{x^{4}+1+2xy}+\dfrac{y}{y^{4}+1+2yz}+\d frac{z}{z^{4}+1+2zx}\leq \dfrac{3}{4}$$

Câu 4 (3 điểm): Cho $\triangle ABC$ ($AB<AC$) có ba góc nhọn và nội tiếp $\left ( O \right )$. Các đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$ ($E\in AC$, $F\in AB$). Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Lấy điểm $T$ trên $\left ( O \right )$ sao cho $\angle ATH=90^{\circ}$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle GTO$ cắt $EF$ tại $K$ khác $G$. Chứng minh rằng:
$\qquad a)$ $G$, $T$, $A$ thẳng hàng.
$\qquad b)$ Đường thẳng $OK$ vuông góc với đường thẳng $AT$.

Câu 5 (3 điểm): Cho
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=1;\,\,\,\, x_{2}=1;\,\,\,\, x_{3}=1 & & \\ x_{n+3}=x_{n+2}x_{n+1}+x_{n} \end{matrix}\right.$$
với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $x_{k}$ chia hết cho $m$.

Câu 6 (4 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $x$, $y$, $z$ thỏa mãn
$$11^{n}=xy\left ( z^{2}+1 \right )+\left ( x^{2}+y^{2} \right )z$$



LẦN III
Câu 1 (3 điểm): Cho dãy số thực $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2014 & & \\ u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^{4}+2013^{2}}{u_{n}^{3}-u_{n}+4026},\,\,\,\, n\in \mathbb{N^{*}} & & \end{matrix}\right.$$
Đặt
$$v_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{u_{k}^{2}+2013},\, \,\,\, \forall n\in \mathbb{N^{*}}$$
Tính $\lim v_{n}$.

Câu 2 (4 điểm): $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $D$ là trung điểm $AC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$ giao với phân giác góc $\angle BAC$ tại $E$ nằm trong $\triangle ABC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABE$ giao với $BD$ tại $F$ khác $B$. $AF$ giao $BE$ tại $I$, $CI$ giao $BD$ tại $K$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABK$.

Câu 3 (3 điểm): Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
$\qquad 1.$ $f\left ( x+y \right )\leq f\left ( x \right )+f\left ( y \right )$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.
$\qquad 2.$ $f\left ( x \right )\leq e^{x}-1$ với mỗi $x\in \mathbb{R}$.

Câu 4 (4 điểm): Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}-\left ( x+y \right )}=\dfrac{y}{\sqrt[3]{x-y}} & & \\ 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )-3\sqrt{2x-1}=11 & & \end{matrix}\right.$$

Câu 5 (3 điểm): Trên bảng ô vuông $3\times 3$, người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một viên sỏi. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số: các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. Hàng không có sỏi ứng với $0$ điểm.
$\qquad a)$ Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là $8$.
$\qquad b)$ Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ.

Câu 6 (3 điểm): Cho $x,y,z\in \left ( 0;1 \right )$. Chứng minh rằng
$$\left ( x-x^{2} \right )\left ( y-y^{2} \right )\left ( z-z^{2} \right )\geq \left ( x-yz \right )\left ( y-zx \right )\left ( z-xy \right )$$


Nguồn: thầy Võ Quốc Bá Cẩn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LSTN, tạm biệt nhé...!
Gin Mellkior is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Gin Mellkior For This Useful Post:
kimlinh (24-08-2016)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 09:33 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 45.30 k/48.71 k (7.00%)]