Seminar các PP Toán sơ cấp: PP giải bài toán cực trị

**namdung** · 11-06-2010, 02:00 PM

Chào các bạn,

Do một số lý do, seminar các PP Toán sơ cấp dự kiến cho ngày 13/6 sẽ được dời lại 1 tuần và như vậy sẽ diễn ra vào sáng chủ nhật, 20/6/2010, từ 8h30 tại trường PTNK (khu B, phòng sẽ báo sau)

Chủ đề seminar lần này là: Phương pháp giải các bài toán cực trị.Báo cáo viên chính: Võ Quốc Bá Cẩn.

Mời các thầy cô giáo, các bạn SV và các bạn học sinh quan tâm tham gia.

Ban tổ chức seminar

4eyes_l0vely · 11-06-2010, 02:06 PM

Em ở trường ngoài vậy được tham dự không thầy

**namdung** · 11-06-2010, 02:08 PM

Seminar này hoàn toàn mở. Không quan trọng bạn là ai, học trường nào. Quan trọng là bạn quan tâm đến nó.

4eyes_l0vely · 11-06-2010, 02:10 PM

em ở Trà Vinh. Vào trường thế nào thầy, cần thẻ học sinh jì không??

**huynhcongbang** · 11-06-2010, 02:44 PM

Không cần thẻ học sinh phức tạp vậy đâu bạn, chỉ cần hôm đó bạn đến đúng giờ, đúng địa điểm là được. Lần trước mình vào cổng rồi hỏi bác bảo vệ, nói mình đến dự seminar là được hướng dẫn liền, không có kiểm tra giấy tờ gì đâu!

dangchienbn · 11-06-2010, 03:48 PM

Cái trường PTNK này rõ hay. Seminar nhiều thật. Ước j trường mình cũng như thế

can_hang2008 · 11-06-2010, 06:13 PM

Các bạn có những bài toán cực trị nào hay thì post nhé! Chúng ta sẽ cùng thảo luận ở seminar tới.

Hy vọng seminar sẽ sôi nổi.

can_hang2008 · 11-06-2010, 08:26 PM

Mình đề nghị một bài.

1) (Chinese IMO Team Selection Test 1992) Cho số tự nhiên $ n \ge 2. $ Tìm hằng số $\lambda=\lambda(n) $ nhỏ nhất sao cho: nếu $0 \le a_1,\;a_2,\;\ldots,\; a_n \le \frac{1}{2} $ và $b_1,\;b_2,\;\ldots,\; b_n>0 $ thỏa mãn

$a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_n=1, $

thì

$b_1b_2\cdots b_n \le \lambda (a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n). $

Câu hỏi đặt ra là: Ta nhìn nhận bài toán này như thế nào để có hướng đi đúng?

ttnq · 13-06-2010, 03:00 PM

1) (China MO 2004)
Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 và $a_1,a_2,...,a_n $ là các số nguyên dương thỏa $a_1<a_2<...<a_n $ và $\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{a_i} \leq 1 $.Chứng minh rằng $(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i^2+x^2})^2\leq \frac{1}{2} \frac{1}{a_1(a_1-1)+x^2} $

2) (Mosp 2005)
Cho các số thực $a_1,a_2,...,a_n $ thỏa mãn $(a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+...+(a_{2n-1}-a_{2n})^2=1 $.Tìm GTLN của $A=(a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n})-(a_1+a_2+...+a_n) $

3) (Poland 1995)
Cho các số dương $x_1,x_2,...,x_n $ có tích bằng 1.Tìm GTNN của $x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+...+\frac{x_n^ n}{n} $

Evarist Galois · 13-06-2010, 03:29 PM

Anh Cẩn có thể up file bài giảng seminar lên 4rum dc ko ak vì có nhiều bạn như em ở xa nên ko đến dự seminar được...

**namdung** · 13-06-2010, 05:20 PM

Có 1 bài toán thế này:

Với n nguyên dương lớn hơn hay bằng 2, tìm hằng số C(n) lớn nhất sao cho bất đẳng thức
$\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n} - n \ge C(n)(1-a_1...a_n) $
đúng với mọi số thực dương $a_1, ..., a_n $ có tổng bằng n.

Tôi đã chứng minh được
1) $ 1 \le C(n) \le 2 $
2) C(n) là dãy giảm
3) $C(n) \ge \frac{16}{27}(1+1/n)^{n+1} $

Các bạn thử làm các phần 1, 2, 3 xem sao nhé.

Và tôi quan tâm đến giá trị $lim C(n) $

can_hang2008 · 14-06-2010, 07:40 PM

Ba bài toán khác

1) (Vietnamese MO 1993) Cho $x \in \left( -\sqrt{1995},\; \sqrt{1995}\right). $ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$C=x\left( 1993 +\sqrt{1995-x^2}\right). $

2) (Vietnamese TST 1993) Cho $a,\;b,\;c,\;d $ là các số thực thỏa mãn $\frac{1}{2} \le a^2+b^2+c^2+d^2 \le 1. $ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$Y =(a-2b+c)^2+(b-2c+d)^2+(b-2a)^2+(c-2d)^2. $

3) (Vietnamese TST 2001) Cho các số thực dương $a,\; b,\;c $ thỏa mãn $21ab +2bc +8ca \le 12. $ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$H =\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}. $

**huynhcongbang** · 15-06-2010, 02:04 PM

Em giải thử câu 1, 2 trong bài đánh giá giá trị C(n) của thầy Nam Dũng!
Trước hết, ta sẽ chứng minh $C(n) \ge 1 $ bằng cách chứng minh BĐT sau:
$\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n} - n \ge 1 - a_1...a_n $
Ta có (theo BĐT Cauchy cho n số):
$\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n} \ge \frac{n}{\sqrt[n]{a_1.a_2...a_n}}. $
Đặt $t = \sqrt[n]{a_1.a_2...a_n} $. Ta cần chứng minh:
$n(\frac{1}{t} - 1) \ge 1 - t^n $ (*)
Theo BĐT Cauchy cho n số $a_1, a_2, ..., a_n $, ta dễ thấy:
$ a_1...a_n \le 1 $ hay $ 1 - t \ge 0 $.
(*) tương đương với:
$n(\frac{1-t}{t}) \ge 1 - t^n $
hay $n \ge t^n + t^{n-1}+...+t $.
Mỗi số hạng ở VP không vượt quá 1, có tổng cộng n số hạng nên VP không quá n. BĐT đã cho đúng với C = 1 mà C(n) là số lớn nhất để BĐT này đúng nên $C(n) \ge 1 $.
Tiếp theo, ta xét n + 1 số sau:
$1, a_1, a_2, ..., a_n $ có tổng là n + 1. Ta thấy C(n+1) là một số thỏa mãn:
$\frac{1}{1} + \frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n} - (n+1) \ge C(n+1)(1 - a_1...a_n) $ hay
$\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n} - n \ge C(n+1)(1 - a_1...a_n) $, mà C(n) là số lớn nhất thỏa mãn BĐT trên nên
$ C(n) \ge C(n+1) $. Dãy C(n) là dãy giảm.
Suy ra 2/ được chứng minh.
Ta thấy trong trường hợp $n = 2 $, ta sẽ chứng minh rằng $C(2) = 2 $. Thật vậy:
Xét hai số dương $a + b = 2 $. Ta có:
$\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} - 2\ge C(2).(1 - ab) $ hay
$\frac{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} - 2}{1-ab} \ge C(2) $. Tức là:
$\frac{2-2ab}{ab-a^2.b^2} \ge C(2) $ hay
$\frac{2}{ab} \ge C(2) $ (do $ab \le 1 $).
Để BĐT trên luôn đúng thì $C(2) \le \frac{2}{ab} \le 2 $
do đó: $C(2) = 2 $ là giá trị lớn nhất với $n = 2 $.
Do dãy này giảm (đã chứng minh ở trên) nên $C(n) \le 2 $. Vậy 1/ được chứng minh.

**huynhcongbang** · 15-06-2010, 06:27 PM

Trích:

Nguyên văn bởi can_hang2008

1) (Vietnamese MO 1993) Cho $x \in \left( -\sqrt{1995},\; \sqrt{1995}\right). $ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$C=x\left( 1993 +\sqrt{1995-x^2}\right). $

Em xin có ý kiến về bài BĐT đầu. Bài này trong đáp án thì sử dụng 2 lần BĐT Bunhiacopski với cách tách thích hợp để khử x.
Dưới đây em xin nêu thêm 2 cách nữa để giải bài này, tất nhiên là không ngắn gọn lắm!
1/ Sử dụng cách khảo sát hàm số:
Xét hàm số $f(x)=x(1993 +\sqrt{1995-x^2}). $. Ta có:
$f'(x)=(1993 +\sqrt{1995-x^2})-x.\frac{x}{\sqrt{1995-x^2}} $ hay
$f'(x)=(1993 +\sqrt{1995-x^2})-\frac{x^2}{\sqrt{1995-x^2}} $. Ta có:
$f'(x)=0 $ tương đương với
$(1993 +\sqrt{1995-x^2})=\frac{x^2}{\sqrt{1995-x^2}} $ hay
$1993.\sqrt{1995-x^2} =2x^2-1995 $.
Đến đây, xét điều kiện rồi bình phương lên giải PT này ra tìm được nghiệm x. Lập bảng biến thiên rồi kết luận GTNN, GTLN.
2/ Sử dụng phương pháp lượng giác:
Đặt $x = \sqrt{1995}.y $, theo giả thiết, ta có:
Do $ y \in [-1, 1] $ nên tồn tại $ a \in [0, \pi] $ sao cho $ y = sina $. Mặt khác:
$C = \sqrt{1995}y.(1993 + \sqrt{1995 - 1995y^2}=1995.y(\frac{1993}{\sqrt{1995}} + \sqrt{1-y^2})= $
$=1995.sina(\frac{1993}{\sqrt{1995}} + |cosa|) $
Đến đây dùng BĐT Bunhiacopxki dể đánh giá $sina, cosa $.

can_hang2008 · 15-06-2010, 06:34 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Evarist Galois

Anh Cẩn có thể up file bài giảng seminar lên 4rum dc ko ak vì có nhiều bạn như em ở xa nên ko đến dự seminar được...

Anh viết dở quá nên chắc anh sẽ không up bản điện tử quá...

Đùa tí thôi, chứ anh có nghĩa vụ up file mà.

11-06-2010, 02:00 PM	#1
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Seminar các PP Toán sơ cấp: PP giải bài toán cực trị Chào các bạn, Do một số lý do, seminar các PP Toán sơ cấp dự kiến cho ngày 13/6 sẽ được dời lại 1 tuần và như vậy sẽ diễn ra vào sáng chủ nhật, 20/6/2010, từ 8h30 tại trường PTNK (khu B, phòng sẽ báo sau) Chủ đề seminar lần này là: Phương pháp giải các bài toán cực trị.Báo cáo viên chính: Võ Quốc Bá Cẩn. Mời các thầy cô giáo, các bạn SV và các bạn học sinh quan tâm tham gia. Ban tổ chức seminar

11-06-2010, 08:26 PM	#8
can_hang2008 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 310 Thanks: 5 Thanked 751 Times in 187 Posts	Mình đề nghị một bài. 1) (Chinese IMO Team Selection Test 1992) Cho số tự nhiên $ n \ge 2. $ Tìm hằng số $\lambda=\lambda(n) $ nhỏ nhất sao cho: nếu $0 \le a_1,\;a_2,\;\ldots,\; a_n \le \frac{1}{2} $ và $b_1,\;b_2,\;\ldots,\; b_n>0 $ thỏa mãn $a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_n=1, $ thì $b_1b_2\cdots b_n \le \lambda (a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n). $ Câu hỏi đặt ra là: Ta nhìn nhận bài toán này như thế nào để có hướng đi đúng? thay đổi nội dung bởi: can_hang2008, 11-06-2010 lúc 08:30 PM

15-06-2010, 02:04 PM	#13
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Em giải thử câu 1, 2 trong bài đánh giá giá trị C(n) của thầy Nam Dũng! Trước hết, ta sẽ chứng minh $C(n) \ge 1 $ bằng cách chứng minh BĐT sau: $\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n} - n \ge 1 - a_1...a_n $ Ta có (theo BĐT Cauchy cho n số): $\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n} \ge \frac{n}{\sqrt[n]{a_1.a_2...a_n}}. $ Đặt $t = \sqrt[n]{a_1.a_2...a_n} $. Ta cần chứng minh: $n(\frac{1}{t} - 1) \ge 1 - t^n $ () Theo BĐT Cauchy cho n số $a_1, a_2, ..., a_n $, ta dễ thấy: $ a_1...a_n \le 1 $ hay $ 1 - t \ge 0 $. () tương đương với: $n(\frac{1-t}{t}) \ge 1 - t^n $ hay $n \ge t^n + t^{n-1}+...+t $. Mỗi số hạng ở VP không vượt quá 1, có tổng cộng n số hạng nên VP không quá n. BĐT đã cho đúng với C = 1 mà C(n) là số lớn nhất để BĐT này đúng nên $C(n) \ge 1 $. Tiếp theo, ta xét n + 1 số sau: $1, a_1, a_2, ..., a_n $ có tổng là n + 1. Ta thấy C(n+1) là một số thỏa mãn: $\frac{1}{1} + \frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n} - (n+1) \ge C(n+1)(1 - a_1...a_n) $ hay $\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n} - n \ge C(n+1)(1 - a_1...a_n) $, mà C(n) là số lớn nhất thỏa mãn BĐT trên nên $ C(n) \ge C(n+1) $. Dãy C(n) là dãy giảm. Suy ra 2/ được chứng minh. Ta thấy trong trường hợp $n = 2 $, ta sẽ chứng minh rằng $C(2) = 2 $. Thật vậy: Xét hai số dương $a + b = 2 $. Ta có: $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} - 2\ge C(2).(1 - ab) $ hay $\frac{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} - 2}{1-ab} \ge C(2) $. Tức là: $\frac{2-2ab}{ab-a^2.b^2} \ge C(2) $ hay $\frac{2}{ab} \ge C(2) $ (do $ab \le 1 $). Để BĐT trên luôn đúng thì $C(2) \le \frac{2}{ab} \le 2 $ do đó: $C(2) = 2 $ là giá trị lớn nhất với $n = 2 $. Do dãy này giảm (đã chứng minh ở trên) nên $C(n) \le 2 $. Vậy 1/ được chứng minh. thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 15-06-2010 lúc 06:05 PM

11-06-2010, 02:06 PM	#2
4eyes_l0vely +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Wonderland Bài gởi: 143 Thanks: 36 Thanked 48 Times in 33 Posts	Em ở trường ngoài vậy được tham dự không thầy

11-06-2010, 02:08 PM	#3
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Seminar này hoàn toàn mở. Không quan trọng bạn là ai, học trường nào. Quan trọng là bạn quan tâm đến nó.

11-06-2010, 02:10 PM	#4
4eyes_l0vely +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Wonderland Bài gởi: 143 Thanks: 36 Thanked 48 Times in 33 Posts	em ở Trà Vinh. Vào trường thế nào thầy, cần thẻ học sinh jì không??

11-06-2010, 02:44 PM	#5
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Không cần thẻ học sinh phức tạp vậy đâu bạn, chỉ cần hôm đó bạn đến đúng giờ, đúng địa điểm là được. Lần trước mình vào cổng rồi hỏi bác bảo vệ, nói mình đến dự seminar là được hướng dẫn liền, không có kiểm tra giấy tờ gì đâu!

11-06-2010, 03:48 PM	#6
dangchienbn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 78 Thanks: 5 Thanked 10 Times in 8 Posts	Cái trường PTNK này rõ hay. Seminar nhiều thật. Ước j trường mình cũng như thế

11-06-2010, 06:13 PM	#7
can_hang2008 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 310 Thanks: 5 Thanked 751 Times in 187 Posts	Các bạn có những bài toán cực trị nào hay thì post nhé! Chúng ta sẽ cùng thảo luận ở seminar tới. Hy vọng seminar sẽ sôi nổi.

13-06-2010, 03:00 PM	#9
ttnq +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: Sài Gòn Bài gởi: 45 Thanks: 37 Thanked 10 Times in 10 Posts	1) (China MO 2004) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 và $a_1,a_2,...,a_n $ là các số nguyên dương thỏa $a_1<a_2<...<a_n $ và $\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{a_i} \leq 1 $.Chứng minh rằng $(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i^2+x^2})^2\leq \frac{1}{2} \frac{1}{a_1(a_1-1)+x^2} $ 2) (Mosp 2005) Cho các số thực $a_1,a_2,...,a_n $ thỏa mãn $(a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+...+(a_{2n-1}-a_{2n})^2=1 $.Tìm GTLN của $A=(a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n})-(a_1+a_2+...+a_n) $ 3) (Poland 1995) Cho các số dương $x_1,x_2,...,x_n $ có tích bằng 1.Tìm GTNN của $x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+...+\frac{x_n^ n}{n} $

13-06-2010, 03:29 PM	#10
Evarist Galois +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: Từ A0 đến FTU Bài gởi: 320 Thanks: 57 Thanked 180 Times in 95 Posts	Anh Cẩn có thể up file bài giảng seminar lên 4rum dc ko ak vì có nhiều bạn như em ở xa nên ko đến dự seminar được...

13-06-2010, 05:20 PM	#11
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Có 1 bài toán thế này: Với n nguyên dương lớn hơn hay bằng 2, tìm hằng số C(n) lớn nhất sao cho bất đẳng thức $\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n} - n \ge C(n)(1-a_1...a_n) $ đúng với mọi số thực dương $a_1, ..., a_n $ có tổng bằng n. Tôi đã chứng minh được 1) $ 1 \le C(n) \le 2 $ 2) C(n) là dãy giảm 3) $C(n) \ge \frac{16}{27}(1+1/n)^{n+1} $ Các bạn thử làm các phần 1, 2, 3 xem sao nhé. Và tôi quan tâm đến giá trị $lim C(n) $

14-06-2010, 07:40 PM	#12
can_hang2008 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 310 Thanks: 5 Thanked 751 Times in 187 Posts	Ba bài toán khác 1) (Vietnamese MO 1993) Cho $x \in \left( -\sqrt{1995},\; \sqrt{1995}\right). $ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C=x\left( 1993 +\sqrt{1995-x^2}\right). $ 2) (Vietnamese TST 1993) Cho $a,\;b,\;c,\;d $ là các số thực thỏa mãn $\frac{1}{2} \le a^2+b^2+c^2+d^2 \le 1. $ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Y =(a-2b+c)^2+(b-2c+d)^2+(b-2a)^2+(c-2d)^2. $ 3) (Vietnamese TST 2001) Cho các số thực dương $a,\; b,\;c $ thỏa mãn $21ab +2bc +8ca \le 12. $ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H =\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}. $