Phương trình Diophant: Seminar ngày 28/11

**namdung** · 23-11-2010, 09:54 PM

Seminar ngày 28/11 sẽ diễn ra vào lúc 9h00-11h00 tại trường THPT chuyên Lê Hồng Phong (thay đổi địa điểm. Các bạn chú ý!) với chủ đề: Phương trình Diophant.

Vì phương trình Diophant rất rộng nên seminar lần này chủ yếu đề cập đến dạng phương trình Diophant mà có cơ chế sinh nghiệm (như phương trình Pell, phương trình dạng Markov, phương trình Pythagore). Cụ thể sẽ trình bày chi tiết phương pháp cát tuyến để giải các phương trình dạng: $x^2 + y^2 = 2z^2 $, hay chứng minh phương trình $x^3 + 3y^3 = 5z^3 $ có vô số nghiệm.

mabeoex · 24-11-2010, 02:39 PM

Thưa thầy Nam Dũng,thầy có bản nào nói về quy định đươc sử dụng các mảng kiến thức ,những bổ đề,định lí ...mà không cần chứng minh trong kì thi VMO.Nếu có thầy có thể đưa lên diên đàn được không ạ

**novae** · 24-11-2010, 03:35 PM

Trích:

Nguyên văn bởi mabeoex

Thưa thầy Nam Dũng,thầy có bản nào nói về quy định đươc sử dụng các mảng kiến thức ,những bổ đề,định lí ...mà không cần chứng minh trong kì thi VMO.Nếu có thầy có thể đưa lên diên đàn được không ạ

[Only registered and activated users can see links. ]
Những vấn đề không liên quan đến topic thì bạn lập một topic mới rồi post lên, không thì sẽ bị xóa

**huynhcongbang** · 24-11-2010, 04:31 PM

Thầy ơi, cho em hỏi seminar lần này ai phụ trách vậy thầy? À, thầy có thể cho tụi em biết địa điểm cụ thể hơn không, vì trường Lê Hồng Phong rộng quá, sợ vô kiếm không được.

**namdung** · 24-11-2010, 10:03 PM

Seminar lần này do tôi báo cáo luôn.

Các bạn cứ vào trường LHP, cổng chính. Đi thẳng vào dãy nhà ngang, lên lầu 1, rẽ phải đến lớp CLB Toán, bên cạnh đó sẽ có phòng để mình làm seminar.

avip · 24-11-2010, 10:47 PM

Dear Professor Nam Dũng,

I have two little questions about this Seminar. Firstly: Is the form of problems like here [Only registered and activated users can see links. ] lectured in this Seminar? And secondly: Can we, Maths Club members, join the Seminar after finishing the first period ?

Thank Professor!!!

**namdung** · 25-11-2010, 11:36 AM

Bài toán em đề cập tới được gọi là bài toán biểu diễn, trong lý thuyết số cộng tính. Dạng này sẽ được đề cập tới 1 cách sơ lược, chủ yếu là nói đến ứng dụng của hằng đẳng thức Fibonacci.

Về nguyên tắc là các em có thể tham gia seminar, tuy nhiên đừng làm ảnh hưởng đến lớp CLB (lẳng lặng mà dự).

**namdung** · 27-11-2010, 09:12 AM

Bài viết về đường cong hữu tỷ và đường cong elliptic. Trong buổi seminar ngày mai chỉ trình bày các ý tưởng hoàn toàn sơ cấp, không đi sâu vào phần đương cong elliptic.

**namdung** · 28-11-2010, 06:14 PM

Hôm nay có khá đông các bạn tham gia seminar. Nội dung chính xoay quanh 2 câu chuyện: 1) Hằng đẳng thức Fibonacci $(x^2 + dy^2)(z^2 + dt^2) = (xz + dyt)^2 + d(xt - yz)^2 = (xz - dyt)^2 + d(xt + yz)^2 $ và các ứng dụng trong phương trình Pell, bài toán biểu diễn Ví dụ điển hình là bài VMO 2010: "Chứng minh rằng với mọi $n \ge 2 $ phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $ có ít nhất n nghiệm tự nhiên". Ta gọi phương trình trên là PT(n). Chú ý rằng từ hằng đẳng thức Fibonacci, ta suy ra nếu (x, y) là nghiệm của PT(n) và (z,t) là nghiệm của PT(m) thì (xz + 15yt, |xt - yz|) và (|xz - 15yt|, xt + yz) là nghiệm của PT(m+n). Từ đó, ta giải bằng quy nạp. Chú ý rằng (2, 0) là nghiệm của PT(1) nên áp dụng tính chất trên ta suy ra (2x, 2y) là nghiệm của PT(n+1). Như thế nếu PT(n) có ít nhất n nghiệm thì PT(n+1) cũng có ít nhất n nghiệm. Vấn đề là chỉ còn tìm thêm 1 nghiệm khác với những nghiệm được xây dựng từ PT(n) với sự trợ giúp của (2, 0). Để ý các nghiệm được "nâng" lên từ PT(n) qua nghiệm (2, 0) đều chẵn nên để tìm 1 nghiệm khác, ta chỉ cần tìm 1 nghiệm lẻ. Để thực hiện việc này, ta chú ý (1/2, 1/2) là 1 nghiệm của PT(1) (đây chính là điểm độc đáo của lời giải, ta không cần phải dùng nghiệm tự nhiên mà có thể dùng nghiệm hữu tỷ, điều quan trọng là nghiệm "sinh" ra phải tự nhiên). Khi đó ((x + 15y)/2, |x - y|/2) và (|x - 15y|/2, (x + y)/2) là nghiệm của PT(n+1). Cuối cùng, dễ dàng kiểm chứng rằng nếu (x, y) là 1 nghiệm lẻ của PT(n) thì 1 trong hai nghiệm trên là nghiệm lẻ của PT(n+1). Một ví dụ khác về cơ chế sinh nghiệm nhờ hằng đẳng thức Fibonacci là bài VMO 1999. Để tìm tất cả các nghiệm của phương trình $x^2 - 5y^2 = -4 $, ta dùng nghiệm hữu tỷ (3/2, 1/2) của phương trình $x^2 - 5y^2 = 1 $ để sinh nghiệm. 2) Trình bày sơ lược về cơ chế sinh nghiệm bước nhảy Viet. 3) Trình bày về cơ chế sinh nghiệm cát tuyến và tiếp tuyến.

23-11-2010, 09:54 PM	#1
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Phương trình Diophant: Seminar ngày 28/11 Seminar ngày 28/11 sẽ diễn ra vào lúc 9h00-11h00 tại trường THPT chuyên Lê Hồng Phong (thay đổi địa điểm. Các bạn chú ý!) với chủ đề: Phương trình Diophant. Vì phương trình Diophant rất rộng nên seminar lần này chủ yếu đề cập đến dạng phương trình Diophant mà có cơ chế sinh nghiệm (như phương trình Pell, phương trình dạng Markov, phương trình Pythagore). Cụ thể sẽ trình bày chi tiết phương pháp cát tuyến để giải các phương trình dạng: $x^2 + y^2 = 2z^2 $, hay chứng minh phương trình $x^3 + 3y^3 = 5z^3 $ có vô số nghiệm.

24-11-2010, 04:31 PM	#4
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Thầy ơi, cho em hỏi seminar lần này ai phụ trách vậy thầy? À, thầy có thể cho tụi em biết địa điểm cụ thể hơn không, vì trường Lê Hồng Phong rộng quá, sợ vô kiếm không được. __________________ Sự im lặng của bầy mèo

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây

24-11-2010, 02:39 PM	#2
mabeoex +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 40 Thanks: 15 Thanked 7 Times in 3 Posts	Thưa thầy Nam Dũng,thầy có bản nào nói về quy định đươc sử dụng các mảng kiến thức ,những bổ đề,định lí ...mà không cần chứng minh trong kì thi VMO.Nếu có thầy có thể đưa lên diên đàn được không ạ

24-11-2010, 10:03 PM	#5
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Seminar lần này do tôi báo cáo luôn. Các bạn cứ vào trường LHP, cổng chính. Đi thẳng vào dãy nhà ngang, lên lầu 1, rẽ phải đến lớp CLB Toán, bên cạnh đó sẽ có phòng để mình làm seminar.

24-11-2010, 10:47 PM	#6
avip +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Bài gởi: 392 Thanks: 135 Thanked 247 Times in 159 Posts	Dear Professor Nam Dũng, I have two little questions about this Seminar. Firstly: Is the form of problems like here [Only registered and activated users can see links. ] lectured in this Seminar? And secondly: Can we, Maths Club members, join the Seminar after finishing the first period ? Thank Professor!!!

25-11-2010, 11:36 AM	#7
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Bài toán em đề cập tới được gọi là bài toán biểu diễn, trong lý thuyết số cộng tính. Dạng này sẽ được đề cập tới 1 cách sơ lược, chủ yếu là nói đến ứng dụng của hằng đẳng thức Fibonacci. Về nguyên tắc là các em có thể tham gia seminar, tuy nhiên đừng làm ảnh hưởng đến lớp CLB (lẳng lặng mà dự).

28-11-2010, 06:14 PM	#9
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Hôm nay có khá đông các bạn tham gia seminar. Nội dung chính xoay quanh 2 câu chuyện: 1) Hằng đẳng thức Fibonacci $(x^2 + dy^2)(z^2 + dt^2) = (xz + dyt)^2 + d(xt - yz)^2 = (xz - dyt)^2 + d(xt + yz)^2 $ và các ứng dụng trong phương trình Pell, bài toán biểu diễn Ví dụ điển hình là bài VMO 2010: "Chứng minh rằng với mọi $n \ge 2 $ phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $ có ít nhất n nghiệm tự nhiên". Ta gọi phương trình trên là PT(n). Chú ý rằng từ hằng đẳng thức Fibonacci, ta suy ra nếu (x, y) là nghiệm của PT(n) và (z,t) là nghiệm của PT(m) thì (xz + 15yt, \|xt - yz\|) và (\|xz - 15yt\|, xt + yz) là nghiệm của PT(m+n). Từ đó, ta giải bằng quy nạp. Chú ý rằng (2, 0) là nghiệm của PT(1) nên áp dụng tính chất trên ta suy ra (2x, 2y) là nghiệm của PT(n+1). Như thế nếu PT(n) có ít nhất n nghiệm thì PT(n+1) cũng có ít nhất n nghiệm. Vấn đề là chỉ còn tìm thêm 1 nghiệm khác với những nghiệm được xây dựng từ PT(n) với sự trợ giúp của (2, 0). Để ý các nghiệm được "nâng" lên từ PT(n) qua nghiệm (2, 0) đều chẵn nên để tìm 1 nghiệm khác, ta chỉ cần tìm 1 nghiệm lẻ. Để thực hiện việc này, ta chú ý (1/2, 1/2) là 1 nghiệm của PT(1) (đây chính là điểm độc đáo của lời giải, ta không cần phải dùng nghiệm tự nhiên mà có thể dùng nghiệm hữu tỷ, điều quan trọng là nghiệm "sinh" ra phải tự nhiên). Khi đó ((x + 15y)/2, \|x - y\|/2) và (\|x - 15y\|/2, (x + y)/2) là nghiệm của PT(n+1). Cuối cùng, dễ dàng kiểm chứng rằng nếu (x, y) là 1 nghiệm lẻ của PT(n) thì 1 trong hai nghiệm trên là nghiệm lẻ của PT(n+1). Một ví dụ khác về cơ chế sinh nghiệm nhờ hằng đẳng thức Fibonacci là bài VMO 1999. Để tìm tất cả các nghiệm của phương trình $x^2 - 5y^2 = -4 $, ta dùng nghiệm hữu tỷ (3/2, 1/2) của phương trình $x^2 - 5y^2 = 1 $ để sinh nghiệm. 2) Trình bày sơ lược về cơ chế sinh nghiệm bước nhảy Viet. 3) Trình bày về cơ chế sinh nghiệm cát tuyến và tiếp tuyến.