Topic giải bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm số,đạo hàm.

NguyenThanhThi · 01-11-2012, 12:41 PM

Thưa các bạn/các anh trong diễn đàn,được sự đồng ý của hôm nay em xin lập topic này.Như mọi người đã biết thì phương pháp sử dụng tính chất của hàm số,đạo hàm để giải bất đẳng thức là một phương pháp khá hay,phù hợp với cả cho thi đại học và học sinh giỏi.Với phương pháp này các bài toán trở nên tự nhiên,đơn giản hơn trong các bước biến đổi.Topic này các bạn sẽ đăng bài và đưa ra những cách giải quyết bằng phương pháp hàm số,đạo hàm,nhầm giúp mọi người khoét sâu vào mảng này hơn đạt được kết quả học tập tốt hơn.
Các bạn đăng bài nhớ đánh số bài theo thứ tự
Rất mong nhận được sự tham gia trao đổi của các bạn,các anh chị
Sau đây mình xin mở đầu bằng 1 bài toán .Bài toán như sau:

Bài 1:Cho a,b,c là ba số thực không âm đội một khác nhau,tim min của P:

$P=\left [ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ] $

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \} $.Khi đó ta có $a-c\leq a $,$b-c\leq b $.Suy ra:

$P\geq \left [ (a+b)^2+b^2+a^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right ] $

$=\frac{2(a^2+b^2+ab)}{a^2-2ab+b^2}+\frac{2(a^2+ab+b^2)}{a^2}+\frac{2(a^2+ab+ b^2)}{b^2} $

$=2\left [ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}{\frac{a}{b}+\frac {b}{a}-2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )^{2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right ) \right ] $

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t,t> 2 $.
Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1}{t-2}+t^2+t $
có $f'(t)=\frac{-3}{(t-2)^2}+2t+1=0\Leftrightarrow 2t^3-7t^2+4t+1=0 $ do $t> 2 $ ta chỉ nhận nghiệm $t=\frac{5+\sqrt{33}}{4} $
Lập bảng biến thiên ta nhận được $minf(t)=\frac{59+11\sqrt{33}}{8} $ $\Rightarrow minP=\frac{59+11\sqrt{33}}{4} $
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}
c=0\\
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5+\sqrt{33}}{4}
\end{matrix}\right. $ và các hoán vị.

Nhận xét với bài toán trên thật rất khó để dự đoán điểm rơi thì việc ta giải quyết nó bằng đạo hàm sẽ làm cho bước đi của ta tự nhiên hơn rất nhiều mà không cần dủng đến những bất đẳng thức phụ phức tạp khác.

01-11-2012, 12:41 PM	#1
NguyenThanhThi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts	Topic giải bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm số,đạo hàm. Thưa các bạn/các anh trong diễn đàn,được sự đồng ý của mod 99 hôm nay em xin lập topic này.Như mọi người đã biết thì phương pháp sử dụng tính chất của hàm số,đạo hàm để giải bất đẳng thức là một phương pháp khá hay,phù hợp với cả cho thi đại học và học sinh giỏi.Với phương pháp này các bài toán trở nên tự nhiên,đơn giản hơn trong các bước biến đổi.Topic này các bạn sẽ đăng bài và đưa ra những cách giải quyết bằng phương pháp hàm số,đạo hàm,nhầm giúp mọi người khoét sâu vào mảng này hơn đạt được kết quả học tập tốt hơn. Các bạn đăng bài nhớ đánh số bài theo thứ tự Rất mong nhận được sự tham gia trao đổi của các bạn,các anh chị Sau đây mình xin mở đầu bằng 1 bài toán có thể quen thuộc với một số bạn .Bài toán như sau: Bài 1:Cho a,b,c là ba số thực không âm đội một khác nhau,tim min của P: $P=\left [ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ] $ Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \} $.Khi đó ta có $a-c\leq a $,$b-c\leq b $.Suy ra: $P\geq \left [ (a+b)^2+b^2+a^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right ] $ $=\frac{2(a^2+b^2+ab)}{a^2-2ab+b^2}+\frac{2(a^2+ab+b^2)}{a^2}+\frac{2(a^2+ab+ b^2)}{b^2} $ $=2\left [ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}{\frac{a}{b}+\frac {b}{a}-2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )^{2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right ) \right ] $ Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t,t> 2 $. Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1}{t-2}+t^2+t $ có $f'(t)=\frac{-3}{(t-2)^2}+2t+1=0\Leftrightarrow 2t^3-7t^2+4t+1=0 $ do $t> 2 $ ta chỉ nhận nghiệm $t=\frac{5+\sqrt{33}}{4} $ Lập bảng biến thiên ta nhận được $minf(t)=\frac{59+11\sqrt{33}}{8} $ $\Rightarrow minP=\frac{59+11\sqrt{33}}{4} $ Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} c=0\\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5+\sqrt{33}}{4} \end{matrix}\right. $ và các hoán vị. Nhận xét với bài toán trên thật rất khó để dự đoán điểm rơi thì việc ta giải quyết nó bằng đạo hàm sẽ làm cho bước đi của ta tự nhiên hơn rất nhiều mà không cần dủng đến những bất đẳng thức phụ phức tạp khác. __________________ Cuộc sống luôn diệu kì