Bài tập về dãy số

[n.t.tuan]

1, $x_1>0,x_{n+1}=\ln (x_n+1) $. Chứng minh $\lim_{n\to\infty}nx_n=2 $.

Các bạn giải xong tớ post bài khác, coi như giờ luyện tập đi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Grisha]

Nguyên văn bởi n.t.tuan

1, $x_1>0,x_{n+1}=\ln (x_n+1) $. Chứng minh $\lim_{n\to\infty}nx_n=2 $.

Các bạn giải xong tớ post bài khác, coi như giờ luyện tập đi.

Dãy $x_n $ là dãy giảm tiến về 0, áp dụng định lý Stolz có $\lim_{n\to\infty}nx_n=\lim_{n\to\infty}n\frac{1}{1/x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1/x_{n+1}-1/x_n} $

$=.\lim_{n\to\infty}\frac{x_n.ln(1+x_n)}{x_n-ln(1+x_n)} $

Giờ thì chỉ cần chứng tỏ $\lim_{x\to 0}\frac{x.ln(1+x)}{x-ln(1+x)} $=KQ là xong, chuyện này dễ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Bạn post cụ thể ra, sao dãy giảm, sao tiến đến 0? Và tính cái giới hạn cuối cùng ra đi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguoigo]

Cm dãy giảm =đạo hàm,-->tồn tại GH,
cần áp dụng thêm BDt:$x-x^2/2+x^3/3<ln(x_{n}+1)<x-x^2/2+x^3/3-x^4/4 $
---------------------
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Áp dụng b đ t này làm gì em? Lời giải của Grisma ổn rồi, chỉ thiếu cái đoạn lằng nhằng anh nói trên kia thôi. Giờ bài tập mà giải linh tinh quá. Anh chưa nhận được PM của em đâu, chắc em chưa biết cách PM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[modular]

Dãy giảm vì có cái ln (x+1)<x với mỗi x>0 . Giới hạn dãy bằng 0 là vì x=ln (x+1) chỉ có độc một nghiệm 0 trên $[0,\infty) $ . Bác n.t.tuan cho bài khác đi!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Nguyên văn bởi Grisha

Giờ thì chỉ cần chứng tỏ $\lim_{x\to 0}\frac{x.ln(1+x)}{x-ln(1+x)} $=KQ là xong, chuyện này dễ.

Nó bằng $\lim_{x\to 0}\frac{\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}}{1-\frac{1}{1+x}}=\lim_{x\to 0}\frac{(x+1)\ln (x+1)+x}{x}=\lim_{x\to 0}\left(\ln (x+1)+2\right)=2. $ Ôi, dễ thật nhở?

==================================

2, $x_1>0,x_{n+1}=x_n2^{-x_n} $. Tính $\lim_{n\to\infty}nx_n $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[skater]

cho bốn số thực $A,B,a,b $. Xét dãy $(x_n) $ xác định bởi
$x_1=a, x_2=b,
x_{n+1}= A (x_n)^{2/3} + B (x_{n-1})^{2/3} $
Chứng minh dãy tồn tại $lim $ và tính $lim $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Xem ở đây //http://mathscope.org/forum/showthread.php?t=726
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[let]

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1,x_{n+1}=2x_n+\sqrt{3x_n^2-3} $. Chứng minh $x_{3n+1}=x_{n+1}(2x_{2n+1}-1) $.

PS: Nếu không tìm công thức tổng quát thì có thể chứng minh được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[modular]

Lạ nhỉ? Mình biết một cách tuyến tính hoá, rồi dùng công thức tổng quát thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[let]

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1,x_{n+1}=x_n+\sqrt[3]{x_n} $. Chứng minh rằng tồn tại các số $a,b $ sao cho $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_n}{an^b}=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Link hay //http://www.mathscope.org/forum/showthread.php?t=1069.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[let]

Xét dãy số $(x_n),n\geq 1 $ thỏa mãn $ x_2 = 0; x_3 = \frac13 $ và mọi $n\geq 2 $: $(n + 2)x_{n + 2} + (2n + 1)x_{n + 1} + (n - 1)x_n = 0 $. Tìm $x_n $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan khoa]

Vốn không thích mấy bài dãy số nhưng bài này sai phân, có vẻ dễ nên thử một tẹo
Đơn giản thành
$(n+2)y_{n+1}+(n-1)y_n=0 $ với $y_n=x_{n+1}+x_n $
Suy ra
$y_{n+1}/y_n=(-1)(n-1)/(n+2) $
Cứ thế nhân theo vế được $y_n $, hình như ra một phân thức mẫu bậc 3, tiếp tục với $x_n $ chắc là được. Mình nghĩ thế, cũng chưa có time để viết chi tiết, liệu có khúc mắc gì trong cái chỗ chi tiết ấy không nhỉ, LET cho ý kiến cái

Mà $x_1 $ hình như chả để làm gì nhỉ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]