Đề thi chọn đội tuyển KHTN 2010-2011, vòng 2, ngày thi thứ hai

[novae]

Ngày thi thứ hai (24/10/2010)

Câu 1:
Tìm tất cả các cặp $(m,n) $ cùng tính chãn lẻ sao cho

$2(m^2+n^2)\vdots m^2-n^2-4 $

Câu 2:
Giả sử đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x] $ thỏa mãn

$P(2x^3+x)=P(x)\cdot P(2x^2) $

CMR $P(x^2)\cdot P(y^2)\ge P(xy) $
Câu 3:
Cho 2 điểm $A,B $ cố định và $(O) $ thay đổi. $a,b $ là đường đối cực của $A,B $ đối với $(O) $ thỏa mãn $\dfrac{d(A,b)}{d(B,a)}=2 $.
Xác định vị trí của $O $ để $S_{OAB} $ lớn nhất.
Câu 4:
Một $4k $-giác đều chia thành các hình bình hành không cắt nhau (có thể chung một phần cạnh)

1. CMR trong số các hình bình hành đó có ít nhất $k $ hình chữ nhật.
2. Giả sử cạnh đa giác đều là 1 (đvdài). Tính tổng diện tích tất cả các hình chữ nhật trong cách chia trên.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Evarist Galois]

Bài 1: Đặt $m+n=2a,m-n=2b $. GT tương đương với:
$ab-4 | a^2+b^2 $
Xét trường hợp $a,b >2 $ đặt $a=2+x,b=2+y $ rồi Vieta Jumping

Bài 2: Bulgaria 1979

Bài 3: Theo định lí Salmon: $\frac{d(A,b)}{d(B,a)}=\frac{OA}{OB}=2 $
Đặt AB=a, OB=x,OA=2x
$16S_{AOB}^2=(3x+a)(3x-a)(a-x)(a+x) $
Chú ý các số hạng đều >0. AM-GM
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Bài 3 ra OA=2OB thì O thuộc đường tròn Apollonius C(AB,2) faster.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuanxh]

Nguyên văn bởi novae

Ngày thi thứ hai (24/10/2010)

Câu 1:
Tìm tất cả các cặp $(m,n) $ cùng tính chãn lẻ sao cho

$2(m^2+n^2)\vdots m^2-n^2-4 $

Câu 2:
Giả sử đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x] $ thỏa mãn

$P(2x^3+x)=P(x)\cdot P(2x^2) $

CMR $P(x^2)\cdot P(y^2)\ge P(xy) $
Câu 3:
Cho 2 điểm $A,B $ cố định và $(O) $ thay đổi. $a,b $ là đường đối cực của $A,B $ đối với $(O) $ thỏa mãn $\dfrac{d(A,b)}{d(B,a)}=2 $.
Xác định vị trí của $O $ để $S_{OAB} $ lớn nhất.
Câu 4:
Một $4k $-giác đều chia thành các hình bình hành không cắt nhau (có thể chung một phần cạnh)

1. CMR trong số các hình bình hành đó có ít nhất $k $ hình chữ nhật.
2. Giả sử cạnh đa giác đều là 1 (đvdài). Tính tổng diện tích tất cả các hình chữ nhật trong cách chia trên.

Câu 2 tìm được $P(x)=x^2+1$
sau đó bunhia là ok
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pco]

Nguyên văn bởi Evarist Galois

Bài 1: Đặt $m+n=2a,m-n=2b $. GT tương đương với:
$ab-4 | a^2+b^2 $
Xét trường hợp $a,b >2 $ đặt $a=2+x,b=2+y $ rồi Vieta Jumping

Ý tưởng nào khiến anh đặt $a=x+2,b=y+2 $ vậy ??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungno]

Đề này làm bao nhiÊu phút vậy ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]