Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 07-02-2018, 03:31 AM   #1
huonghoai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Phương trình $x^3+4x=y^2.$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^3+4x=y^2.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
huonghoai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huonghoai For This Useful Post:
zinxinh (15-02-2018)
Old 11-02-2018, 07:43 AM   #2
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,333
Thanks: 208
Thanked 4,050 Times in 769 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Có bạn nào làm được bài này không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to namdung For This Useful Post:
zinxinh (15-02-2018)
Old 11-02-2018, 09:35 AM   #3
vnt.hnue
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Sep 2016
Bài gởi: 9
Thanks: 17
Thanked 6 Times in 3 Posts
Ý tưởng của em là chứng minh $x$ là số chính phương ạ.
Nếu $p|x$ ($p$ nguyên tố), đặt $x=p^{k}.z$ $((z,p)=1)$)
Suy ra $x^{3}-4x=p^{k}(p^{2k}z^{3}+4z)=y^{2}$.
Vì $(p^{2k}z^{3}+4z)$ không chia hết cho $p$ (với p khác 2) nên $k$ là số mũ của p trong phân tích tiêu chuẩn của $y^{2}$, hay $k$ chẵn. Trường hợp p=2, $x^{3}-4x=2^{k+2}(p^{2k-2}z^{3}+z)=y^{2}$, suy ra $k+2$ chẵn hay $k$ chẵn . Do đó trong phân tích tiêu chuẩn của $x$, số mũ của tất cả các thừa số nguyên tố đều chẵn hay $x$ là số chính phương.
Đặt $x=u^{2}$, ta được $u^{6}+4u^{2}=y^{2}$, nếu $u$ khác 0 thì $u^4+4=(y/u)^{2}=t^{2}$.
Suy ra $(u^{2}-t)(u^{2}+t)=4$. Giải ra được không tồn tại $u,t$.
Do đó $u=0$, hay $x=y=0$ là nghiệm duy nhất.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: vnt.hnue, 11-02-2018 lúc 09:56 AM
vnt.hnue is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to vnt.hnue For This Useful Post:
zinxinh (15-02-2018)
Old 11-02-2018, 11:31 AM   #4
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 50
Thanks: 5
Thanked 32 Times in 24 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi vnt.hnue View Post
Trường hợp p=2, $x^{3}-4x=2^{k+2}(p^{2k-2}z^{3}+z)=y^{2}$, suy ra $k+2$ chẵn hay $k$ chẵn .
Với $k=1$ thì sao? Ta luôn có cặp nghiệm $(2;\,4)$ mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 11-02-2018 lúc 11:43 AM
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
zinxinh (15-02-2018)
Old 13-02-2018, 07:21 AM   #5
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
Gọi d=$ UCLN(x,x^{2}+4)$ .Vì vậy $x\vdots d$ và $(x^{2}+4)\vdots d$ từ đó suy ra $4 \vdots d$ do đó d=1,2,4
1)Nếu d=1 thì $x^{2}+4 =m^{2}$ và $x=n^{2}$ trong đó m,n là số tự nhiên do đó $m^{2}=n^{4}+4=>(m-n^{2})(m+n^{2})=4$
Mà $m-n^{2},m+n^{2}$ cùng tính chẵn lẻ nên m=2,n=0 do đó x=y=0
2)Nếu d=2 =>x=2z trong đó z là số nguyên lẻ =>$y^{2}=8z(z^{2}+1)=>2z=2m^{2},z^{2}+1=2n^{2}$ m,n là số tự nhiên
Từ đó $2n^{2}=m^{4}+1$ đến đây thấy hiểm giống phương trình pell
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 13-02-2018 lúc 07:39 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-02-2018, 11:05 PM   #6
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 50
Thanks: 5
Thanked 32 Times in 24 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Từ đó $2n^{2}=m^{4}+1$ đến đây thấy hiểm giống phương trình pell
Để ý là nếu $x^4+y^4=2z^2$ thì $x^2=y^2=z$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
zinxinh (15-02-2018)
Old 15-02-2018, 05:19 AM   #7
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
Từ $n^{2}=\frac{m^{4}+1}{2}=(\frac{m^{2}+1}{2}+i\frac {m^{2}-1}{2})(\frac{m^{2}+1}{2}-i\frac{m^{2}-1}{2})$
z không chia hết cho 2 nên m là số nguyên dương lẻ
Nhưng $\frac{m^{2}+1}{2}+i\frac{m^{2}-1}{2}$ và $\frac{m^{2}+1}{2}-i\frac{m^{2}-1}{2}$ nguyên tố với nhau nên hai số này là bình phương số nguyên gaus
Vì vậy $\frac{m^{2}+1}{2}+i\frac{m^{2}-1}{2}=(a+ib)^{2}=a^{2}-b^{2}+2iab$ .Từ giá trị của m nên a,b là các số nguyên không âm
$ab=\frac{m^{2}-1}{4} $và $ a^{2}-b^{2}=\frac{m^{2}+1}{2}$ và a>b
Vì vậy $(a-b)^{2}=a^{2}-b^{2}-2ab+2b^{2}=1+2b^{2}$
Đặt a-b=c nên $c^{2}=2b^{2}+1=>m^{2}=a^{2}+2ab-b^{2}=(a+b)^{2}-2b^{2}=(c+2b)^{2}-2b^{2}=c^{2}+4bc+4b^{2}-2b^{2}=4bc+4b^{2}+1$
Do m lẻ nên m=2e+1 do đó $ab=e(e+1),a^{2}-b^{2}=2e^{2}+2e+1$ Do đó $a^{2}$ là nghiệm của phương trình $t^{2}-(2e^{2}+2e+1)t-(e^{2}+e)^{2}=0=>\Delta=8(e^{2}+e)^{2}+4(e^{2}+e)+ 1$ là số chính phương
Tìm số tự nhiên n sao cho $4bc+4b^{2}+1$ là số chính phương,trong đó $b=\frac{(3+2\sqrt{2})^{n}-(3-2\sqrt{2})^{n}} {2\sqrt{2}}$ và $c=\frac{(3+2\sqrt{2})^{n}+(3-2\sqrt{2})^{n}} {2}$ nghĩa là bài toán phát biểu lại.Tìm n là số tự nhiên sao cho
$\frac{(1+\sqrt{2})^{4n+1}+(1-\sqrt{2})^{4n+1}}{2}$ là số chính phương
Đến đây hoàn toàn có thể đánh chặn được
Dấu bằng xảy ra khi b=0 => m=1 => z=1 => (x,y)=(2,4) và (2,-4)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 15-02-2018 lúc 02:43 PM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-02-2018, 03:48 AM   #8
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 50
Thanks: 5
Thanked 32 Times in 24 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huonghoai View Post
Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^3+4x=y^2.$
Trước tiên ta cần có bổ đề sau:

Bổ đề. Hễ phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ thì $2\mathfrak x\mathfrak y$ không là số chính phương.



Vậy bổ đề đã được chứng minh xong, ta quay lại bài toán và xét các trường hợp sau:
  1. Nếu $x=0$, ta có $y=0$ thỏa tức là có cặp $(0;\,0)$ là nghiệm.

  2. Nếu $x$ lẻ, thì $\gcd\left(x;\,x^2+4\right)=1$ nên tồn tại $u;\,v\in\mathbb N$ sao cho $x=u^2$ và $x^2+4=v^2$, từ đó
    \[\left( {v - {u^2}} \right)\left( {v + {u^2}} \right) = 4.\]
    Để ý rằng $u$ lẻ nên kéo theo $v$ lẻ và do $4$ có phân tích duy nhất thành tích hai số tự nhiên chẵn nên
    \[v - {u^2} = v + {u^2} = 2.\]
    Ta có $u=0$ và loại bỏ trong tình huống này.

  3. Nếu $x$ chẵn và $x> 0$, đặt $x=2l$ với $l\in\mathbb Z^+$ khi đó $y$ chẵn nên $y=2m$ với $m\in\mathbb Z^+$ và có
    \[2\left( {{l^2} + 1} \right)l = {m^2}.\]
    Từ đây $m$ chẵn nên $m=2n$ và ta có
    \[\left( {{l^2} + 1} \right)l = 2{n^2}.\]
    Bởi vì $l^2<l^2+1<(l+1)^2$ với $l\in\mathbb Z^+$ nên $l^2+1$ không thể là số chính phương, do đó tồn tại các số nguyên dương $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ thỏa\[l = {\mathfrak{a}^2};\;{l^2} + 1 = 2{\mathfrak{b}^2}.\]
    Ta thấy rằng $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ lẻ và từ trên sẽ có\[{\left( {\frac{{{\mathfrak{a}^4} - 1}}{2}} \right)^2} + {\mathfrak{a}^4} = \left( {\frac{{{\mathfrak{a}^4} + 1}}{2}} \right)^2 =\left( {\frac{{{l^2} + 1}}{2}} \right)^2 = {\mathfrak{b}^4}.\]
    Bây giờ nếu $\mathfrak{a}>1$ thì phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left( x;\, y;\, z\right) = \left( {2{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2};\,{\mathfrak{b} ^4} - {\mathfrak{a}^4};\,{\mathfrak{a}^4} + {\mathfrak{b}^4}} \right)$ với
    \[2xy = 4{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2}\left( {{\mathfrak{b}^4} - {\mathfrak{a}^4}} \right) = {\left( {\mathfrak{a}\mathfrak{b}\left( {{\mathfrak{a}^4} - 1} \right)} \right)^2}.\]
    Điều đó, mâu thuẫn với bổ đề ở trên kia. Vậy $\mathfrak a=1$ tức $l=1$ và $x=2$, và trường hợp này vì thế chỉ cho ta thêm hai cặp nghiệm đó là $(x;\,y)=(2;\,4)$ và $(x;\,y)=(2;\,-4)$.
Tóm lại, ta có các cặp nghiệm $(x;\,y)$ là $(0;\,0),\,(2;\,-4)$ và $(2;\,4)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 17-02-2018 lúc 10:50 AM
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
zinxinh (17-02-2018)
Old 17-02-2018, 05:41 AM   #9
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
Đoạn cuối chỉ là một cách biểu diễn,như việc phân tích đa thức thành nhân tử.Có thể thấy nếu nó đúng chỉ có nghiệm (0,0,0)
Cụ thể như sau
$2xy=a^{4}-1$
$x^{2}-y^{2}=a^{2}$
$x^{2}+y^{2}=b^{2}$
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 17-02-2018 lúc 05:54 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-02-2018, 06:11 AM   #10
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
$2xy=(a^{4}-1)a^{2}$ không là số chính phương thì có sao,không thể ép nó có bộ nghiệm kia được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 17-02-2018 lúc 06:13 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-02-2018, 10:39 AM   #11
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 50
Thanks: 5
Thanked 32 Times in 24 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
$2xy=(a^{4}-1)a^{2}$ không là số chính phương thì có sao,không thể ép nó có bộ nghiệm kia được
Ơ hay! Đọc kỹ lại đoạn này đi cu.
Trích:
Nguyên văn bởi Thụy An View Post
..
Bây giờ nếu $\mathfrak{a}>1$ thì phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm $\left( x;\, y;\, z\right) = \left( {2{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2};\,{\mathfrak{b} ^4} - {\mathfrak{a}^4};\,{\mathfrak{a}^4} + {\mathfrak{b}^4}} \right)$ với
\[2xy = 4{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2}\left( {{\mathfrak{b}^4} - {\mathfrak{a}^4}} \right) = {\left( {\mathfrak{a}\mathfrak{b}\left( {{\mathfrak{a}^4} - 1} \right)} \right)^2}.\]
Điều này, mâu thuẫn với bổ đề ở trên kia.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-02-2018, 12:06 PM   #12
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
Cố ý ghép đặt như thế không thể tự nhiên được,chẳng thế nào
$(x,y,z)=(2ab,a^{2}-b^{2},a^{2}+b^{2})$ như thế tự nhiên hơn
Em chưa thử maple vì em chưa cài được,nhưng nếu có nghiệm thì rất nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 17-02-2018 lúc 12:18 PM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-02-2018, 12:44 PM   #13
MATHSCOPE
Administrator

 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 15
Thanks: 81
Thanked 170 Times in 63 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Cố ý ghép đặt như thế không thể tự nhiên được,chẳng thế nào
$(x,y,z)=(2ab,a^{2}-b^{2},a^{2}+b^{2})$ như thế tự nhiên hơn
Bình liên thiên, chả chịu đọc để hiểu cái gì cả

Phải từ $\mathfrak{b}^4-\mathfrak{a}^4=\left(\dfrac{\mathfrak{a}^4-1}{2}\right)^2$ là số chính phương mới sinh ra bộ nghiệm $\left( x;\, y;\, z\right) = \left( {2{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2};\,{\mathfrak{b} ^4} - {\mathfrak{a}^4};\,{\mathfrak{a}^4} + {\mathfrak{b}^4}} \right)$ của phương trình Pythagoras thỏa $2xy $ là chính phương chứ. Tự dưng lôi bộ $(x,y,z)=(2ab,a^{2}-b^{2},a^{2}+b^{2})$ kia ra làm cái gì?
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Em chưa thử maple vì em chưa cài được,nhưng nếu có nghiệm thì rất nhiều
Phương trình $x^4-2y^2=-1$ có phải phương trình Pell đâu mà cứ có nghiệm là có vô số hả Bồn?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MATHSCOPE is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:39 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 92.75 k/107.41 k (13.65%)]