Nghiệm nguyên của phương trình bậc hai với tham số nguyên

[phongtran1987]

Tìm $m$ nguyên để phương trình
$$x^2-(m+4)x-2m=0$$ có hai nghiệm phân biệt đều là số nguyên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Sky Nguyễn]

Ta có:
$\Delta = m^2 + 16m + 16 > 0$
$\Leftrightarrow$ $m < - 8 - 4\sqrt{3}$ hoặc $m > - 8 + 4\sqrt{3}$
Vì $m \in Z$ nên $m < -15$ hoặc $m > -1$
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều là số nguyên nên ta có
$\begin{cases}
x_1.x_2 = m + 4 \in Z (1) \\
x_1 + x_2 = - 2m \in Z (2) \\
\end{cases}$
$(1)$ và $(2)$ đúng $\forall m \in Z$
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên phân biệt khi $m < -15$ và $m > -1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi Sky Nguyễn

Ta có:
$\Delta = m^2 + 16m + 16 > 0$
$\Leftrightarrow$ $m < - 8 - 4\sqrt{3}$ hoặc $m > - 8 + 4\sqrt{3}$
Vì $m \in Z$ nên $m < -15$ hoặc $m > -1$
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều là số nguyên nên ta có
$\begin{cases}
x_1.x_2 = m + 4 \in Z (1) \\
x_1 + x_2 = - 2m \in Z (2) \\
\end{cases}$
$(1)$ và $(2)$ đúng $\forall m \in Z$
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên phân biệt khi $m < -15$ và $m > -1$

Sai! Tổng và tích nguyên không hẵn nghiệm phải là số nguyên.

Ta sẽ thấy: với hệ số $a=1, b, c\in \mathbb{Z}$ hệ phương trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $\Delta$ là số chính phương.

Phương trình $\Delta = k^2, k> 0$
Hay
\[(m+8-k)(m+8+k)=48.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Sky Nguyễn]

Nguyên văn bởi Galois_vn

Sai! Tổng và tích nguyên không hẵn nghiệm phải là số nguyên.

Ta sẽ thấy: với hệ số $a=1, b, c\in \mathbb{Z}$ hệ phương trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $\Delta$ là số chính phương.

Phương trình $\Delta = k^2, k> 0$
Hay
\[(m+8-k)(m+8+k)=48.\]

xin lỗi mình bị nhầm, làm xong mình mới nhớ mà không có lên sửa được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]