|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
15-07-2015, 12:03 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2013 Bài gởi: 69 Thanks: 15 Thanked 36 Times in 24 Posts | Bất đẳng thức số học Gọi $D(n)$ là số các ước dương của $n$. Và $T(n)$ là số các số nguyên dương bé hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$ ( chính là Phi(n) ). Chứng minh rằng: $(D(n)-1).T(n) \ge n$ |
03-03-2016, 05:38 PM | #2 |
Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts | Hình như đề này có vấn đề thì phải, khi $n$ là số nguyên tố thì $D(n)=2$ va $T(n)=n-1$. Khi đo BDT sai . |
04-03-2016, 11:32 PM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2015 Bài gởi: 6 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts | Trích:
Dĩ nhiên BĐT đúng với số nguyên tố. Đặt $n = p_{1}^{a_{1}}.p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$ Khi đó $\tau (n) = \prod_{i = 1}^{k}(a_{i} + 1)$ và $\varphi (n) = \prod_{i = 1}^{k}p_{i}^{a_{i} - 1}.(p_{i} - 1)$. Dễ thấy $\tau (n) - 1 \ge a_{1}.\prod_{i = 2}^{k}(a_{i} + 1)$. Do đó ta cần chứng minh $a_{1}.\prod_{i = 2}^{k}(a_{i} + 1).\varphi(n) + 1 \ge n$. - Nếu $a_{1} \ge 2$ thì $a_{1}(p_{1} - 1).(\prod_{i = 2}^{k}(a_{i} + 1).(p_{i} - 1)).\prod_{i = 1}^{k}p_{i}^{a_{i} - 1} \ge (\prod_{i = 1}^{k}2(p_{i} - 1)).\prod_{i = 1}^{k}p_{i}^{a_{i} - 1} \ge (\prod_{i = 1}^{k}p_{i}).\prod_{i = 1}^{k}p_{i}^{a_{i} - 1} = n$ - Nếu $a_{1} = 1$ (do ta không xét trường hợp số nguyên tố nên $k \ge 2$). Do đó $p_{k} \ge 3$ hay $(a_{k} + 1)(p_{k} - 1) \ge 2(p_{k} - 1) \ge p_{k} + 1$. Từ đó ta có $(p_{1} - 1).\prod_{i = 2}^{k}(a_{i} + 1)(p_{i} - 1).p_{i}^{a_{i} - 1} \ge (p_{1} - 1)(\prod_{i = 2}^{k - 1}2(p_{i} - 1))(p_{k} + 1)$. Dễ thấy $k \ge 3$ thì bất đẳng thức đúng. Trường hợp $k = 2$, ta chỉ cần kiểm tra với $n = 6$. Khi đó thử lại $n = 6$ là giá trị thỏa mãn. P.S: trình bày hơi lan man xíu.. | |
Bookmarks |
|
|