Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 26-12-2010, 09:18 PM   #1
daylight
+Thành Viên+
 
daylight's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: Dan Phuong upper secondary school
Bài gởi: 551
Thanks: 876
Thanked 325 Times in 188 Posts
The inequality

A,b,c >0 và abc =1
CM

$a) \frac{1}{\sqrt{2a^2+6a+1}} +\frac{1}{\sqrt{2b^2+6b+1}}+\frac{1}{\sqrt{2c^2+6c +1}} \geq 1 $
b)
$ \sum \frac{x}{x^2+x+1} \leq \sum \frac{1}{x+2} $
$c) \sum \sqrt{\frac{2}{a+1}} \leq 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
daylight is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-12-2010, 09:41 PM   #2
Unknowing
+Thành Viên+
 
Unknowing's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: THPT Hùng Vương Bình Phước( ۩xứ bụi ۩)
Bài gởi: 303
Thanks: 421
Thanked 302 Times in 164 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Unknowing
Trích:
Nguyên văn bởi daylight View Post
A,b,c >0 và abc =1
CM

$a) \frac{1}{\sqrt{2a^2+6a+1}} +\frac{1}{\sqrt{2b^2+6b+1}}+\frac{1}{\sqrt{2c^2+6c +1}} \geq 1 $
b)
$ \sum \frac{x}{x^2+x+1} \leq \sum \frac{1}{x+2} $
$c) \sum \sqrt{\frac{2}{a+1}} \leq 3 $
bài cuối nếu có đk abc=1
thì đây là bài thi olp 30-4 năm 2009 đã đc rút gọn hơn !!!
...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : doc Copy by Old and new inequality.doc (150.0 KB, 29 lần tải)
__________________
$Le~Thien~Cuong $
Unknowing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Unknowing For This Useful Post:
daylight (26-12-2010), wikipedia1995 (26-12-2010)
Old 27-12-2010, 05:28 PM   #3
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daylight View Post
c) $ \sum \sqrt{\frac{2}{a+1}} \leq 3 $
Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z} $
Bất đẳng thức dc viết lại:

$\sqrt{\frac{2x}{x+y}}+\sqrt{\frac{2y}{y+z}}+\sqrt{ \frac{2z}{z+x}}\le3
$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$\left ( \sum \sqrt{\frac{2x}{x+y}} \right )^2\le2\sum x(y+z)\sum \frac{1}{(x+y)(y+z)}=\frac{8(xy+yz+zx)(x+y+z)}{(x+ y)(y+z)(z+x)} $
Cần chứng minh:

$8(xy+yz+zx)(x+y+z)\le9(x+y)(y+z)(z+x) $
$\Leftrightarrow x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2\ge0 $

Mà bất đẳng thức này đúng nên ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to MathForLife For This Useful Post:
daylight (28-12-2010), wikipedia1995 (27-12-2010)
Old 27-12-2010, 06:09 PM   #4
shinomoriaoshi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: Tuy Hòa
Bài gởi: 198
Thanks: 198
Thanked 129 Times in 72 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daylight View Post
A,b,c >0 và abc =1
CM

$a) \frac{1}{\sqrt{2a^2+6a+1}} +\frac{1}{\sqrt{2b^2+6b+1}}+\frac{1}{\sqrt{2c^2+6c +1}} \geq 1 $
b)
$ \sum \frac{x}{x^2+x+1} \leq \sum \frac{1}{x+2} $
$c) \sum \sqrt{\frac{2}{a+1}} \leq 3 $
Mình nghĩ cái bđt b phải có chiều ngược lại đấy bạn.
Ta có vế trái không nhỏ hơn 1 còn vế phải không lớn hơn 1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
shinomoriaoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 27-12-2010, 11:07 PM   #5
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi shinomoriaoshi View Post
Mình nghĩ cái bđt b phải có chiều ngược lại đấy bạn.
Ta có vế trái không nhỏ hơn 1 còn vế phải không lớn hơn 1.
Bạn xem lại dc không? Cả 2 vế đều không lớn hơn 1 đấy chứ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-12-2010, 07:47 PM   #6
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daylight View Post
A,b,c >0 và abc =1
CM

b)
$ \sum \frac{x}{x^2+x+1} \leq \sum \frac{1}{x+2} $
Để làm bài toán này cần có 2 bổ đề:
1). Cho a,b,c>0,abc=1. Khi đó:$\sum \frac{1}{a^2+a+1}\geq 1 $

Chứng minh. Đặt $x=\frac{mn}{p^2};y=\frac{np}{p^2};z=\frac{mp}{n^2} $. Vế trái của 1) có dạng:
$\sum \frac{p^4}{m^2n^2+2mnp^2+p^4}\geq \frac{(p^2+m^2+n^2)^2}{\sum p^4+\sum m^2n^2+2\sum mnp^2}\geq 1 $ (vì $\sum m^2n^2\ge \sum mnp^2} $

2). Cho $u \gev >0 $. Khi đó
$\frac{1-u}{u^2+u+1}\le \frac{1-v}{v^2+v+1} $ khi và chỉ khi $u+v+2\ge uv $
Dễ chứng minh 2).

Trở lại bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử $x\gey\gez $. Khi đó $yz \le1 \Rightarrow yz<2\sqrt{yz}<y+z+2 $ và $(x-1)(z-1)\le0 \Rightarrow zx\le x+z-1<x+z+2 $. Xét 2 trường hợp:

1) $xy\le x+y+2 $. Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương:
$\sum \frac{1-x}{(x+2)(x^2+x+1)}\ge0 $ $(1) $
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 bộ cùng chiều: $\frac{1}{x+2} $ và $\frac{1-x}{x^2+x+1} $:
$VT(1) \ge \frac{1}{3}\sum \frac{1}{x+2}\sum \frac{1-x}{x^2+x+1} $

Áp dụng bổ đề 1) cho 2 bộ số $\frac{1}{x} $ và $x $:
$\sum \frac{x^2+2}{x^2+x+1}\geq 3 $
$\Leftrightarrow \sum \frac{1-x}{x^2+x+1}\geq 0 $

Vậy BDT dc CM trong trường hợp này.

2) $xy>x+y+2 $ $\Rightarrow xy>2\sqrt{xy}+2 \Rightarrow xy>4+2\sqrt{3} \Rightarrow z<\frac{2-\sqrt{3}}{2}=z_0 $. Xét hàm:
$f(t)=\frac{1-t}{(t+2)(t^2+t+1)} $

Lập bảng biến thiên suy ra: $f $ nghịch biến với $t<1 $
Do đó: $f(z)>f(z_0) $
Mặt khác:
$\frac{1-t}{(t+2)(t^2+t+1)}>-\frac{1}{20} $

$\Leftrightarrow t^3+3t^2+22-17t>0 $

$\Leftrightarrow (t-2)^2(t+4)+3(t-1)^2+t+3>0 $ (đúng với t>0)
Vậy $f(x)+f(y)+f(z)>-\frac{1}{10}+f(z_0)>0 $ (máy tính)
Bất đẳng thức dc chứng minh hoàn toàn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 28-12-2010 lúc 09:20 PM
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to MathForLife For This Useful Post:
avip (28-12-2010), daylight (28-12-2010), nhox12764 (28-12-2010), Unknowing (28-12-2010)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:07 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 60.38 k/68.45 k (11.79%)]