Thi cuối kỳ Lý thuyết Galois 2008,ĐHSPHN

[99]

Câu I(3 điểm): Chứng minh các khẳng định sau đây
(i) Trên trường có đặc số 0, ba khái niệm sau tương đương:
-trường phân rã của một đa thức
-mở rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc
-mở rộng Galois
(ii) $\frac{\sqrt[3]{3}+i\cos\frac{\pi}{5}}{i\sqrt{7}-\sin\frac{\pi}{5}} $ là số đại số trên $\mathbb{Q} $

Câu II(4 điểm):Chứng minh rằng :
(i)Tồn tại mở rộng Galois $F $ của $\mathbb{Q} $ với nhóm Galois là nhóm giải được cấp $6^n $ với $n $ là số nguyên dương
(ii)Tìm một đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Q} $ nhận $\cos\frac{2\pi}{15}+i\sin\frac{2\pi}{15} $ làm nghiệm
(iii)Với mỗi $n $ nguyên dương đều tồn tại một đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Q} $ bậc $n $ và có nghiệm thực

Câu III (3 điểm): Cho $\mathbb{F}_n $ là trường chia đường tròn bậc $n\geq 2 $ trên trường số hữu tỷ $\mathbb{Q} $ . Chứng minh rằng:
(i) $\sqrt[n]{p} $ $\not\in $ $\mathbb{F}_n $ với mọi $p $ là số nguyên tố
(ii)Các phần tử của $\mathbb{F}_n $ dựng được bằng thước kẻ và compas thì $n $ phải có dạng như thế nào?
(iii)Tập tất cả các số phức là nghiệm của phương trình đa thức trên $\mathbb{Q} $ giải được bằng căn thức lập thành một trường con của trường số phức $\mathbb{C} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]