Đề thi môn hàm phức cho năm thứ hai, ĐHSPHN

[99]

Đề thi môn hàm phức dành cho năm thứ hai, năm học 2009-2010

Thời gian: 120 phút

Câu 1. Phát biểu định nghĩa hàm $\mathbb{C} $-khả vi và chỉnh hình tại một điểm. Cho ví dụ một hàm là $\mathbb{C} $-khả vi tại một điểm nhưng không chỉnh hình tại điểm đó.

Câu 2. Giả sử $D $ là miền đơn liên bị chặn với biên $\partial D $ là một chu tuyến trơn từng khúc. Chứng minh rằng nếu $f $ là một hàm liên tục trên $\overline{D}=D\cup \partial D $ và chỉnh hình trên $D $ thì $\int_{\partial D}fdz = 0. $

Câu 3. Tìm khai triển Laurent của hàm sau trong hình vành khăn đã chỉ ra

$f(z)=\frac{1+z}{(z-1)(z-2)} $; $1<|z|<2 $

Câu 4. Tìm số nghiệm của đa thức $P(z) = z^3-5z+1 $ trong hình tròn đơn vị.

Câu 5. Tính tích phân $\int_0^{\pi}\frac{d\varphi}{(1+a\cos\varphi)^2} $; $|a|<1 $, $a\in \mathbb{R}. $

Câu 6. Tìm phép biến đổi phân tuyến tính $w $ biến hình tròn $|z|<2 $ thành nửa mặt phẳng bên phải $\{z\in \mathbb{C} ~ : ~ Re(z) >0\} $ sao cho $w(0)=1 $ và $arg w'(0)=\frac{\pi}{2} $

Câu 7. Giả sử $f $ là hàm chỉnh hình trong hình tròn đơn vị $\Delta(0,1) = \{z\in \mathbb{C} : |z|<1\} $ sao cho $f(0)=1 $ và $|f(z)|<2010 $ trong $\Delta(0,1) $. Chứng minh rằng trong hình tròn $\{z\in\mathbb{C}~ : ~ |z|\leq \frac{1}{2010}\} $ xảy ra bất đẳng thức

$|f(z)-1|\leq 2010|z|. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]