Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Giải Tích/Analysis

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 18-05-2020, 09:24 AM   #1
pega94
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gởi: 191
Thanks: 35
Thanked 17 Times in 17 Posts
Chứng minh định lý Taylor

Giả sử $f:\left( a,b \right)\to R$ khả vi liên tục cấp $n$ trên khoảng $(a,b)$ và có đạo hàm cấp $n+1$ tại mỗi điểm của khoảng $(a,b)$ có thể trừ ra điểm $x_{0}\in(a,b)$. Khi đó giữa điểm $x_0$ và điểm $x\in (a,b)$ bất kỳ tồn tại điểm $\xi $ sao cho

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}{(x_0)}}{k!}(x-x_0)^k+R_{n+1}(f;x)$$

trong đó

$$R_{n+1}(f;x)=\frac{1}{n!p}\left( \frac{x-x_0}{x-\xi} \right)\left( x-\xi \right)^{n+1}f^{(n+1)}(\xi),p\in R,p>0 $$

Lời giải

Giả sử $x>x_0$ xét hàm số

$$h(t)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}\left( x-t \right)^{k}-\frac{(x-t)^p}{n!p}\lambda , x_{0}\leq t\leq x$$

trong đó $p\in R,p>0$, $\lambda$ là tham số.

Hàm $h(t)$ liên tục trên đoạn $[x_0,x], h(x)=0$ và có đạo hàm $h'(t)$ tồn tại với mọi $t\in [ x_0,x ]$. Ta chọn tham số $\lambda$ sao cho

$$h(x_0)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}\left( x-x_0 \right)^{k}-\frac{(x-x_0)^p}{n!p}\lambda$$

Với cách chọn đó hàm $h(t)$ thỏa mãn định lý Rolle trên đoạn $[x_0,x]$. Do đó $\exists \xi \in \left[ x_0,x \right]$ sao cho

$$h'(\xi )=\frac{-f^{(n+1)}(\xi )}{n!}\left( x-\xi \right)^n+\frac{(x-\xi)^{p+1}}{n!}\lambda =0$$

Thật vậy từ hệ thức $h(t)$ ta có:

$$h'(t)=-f'(t)+\frac{f'(t)}{1!}-\frac{f''(t)}{1!}+\frac{f''(t)}{2!}2(x-t)-...+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}n(x-t)^{n-1}-\frac{f^{(n+1}(t)}{n!}(x-t)^n+\frac{(x-t)^{p-1}}{n^!})\lambda $$so sánh 2 hệ thức trên ta thu được

$$\lambda =f^{(n+1)}(\xi )(x-\xi )^{n-p+1}$$

trong hai trường hợp $p=n+1$ và $p=1$ ta thu được phần dư dạng Lagrange và phần dư dạng Cauchy
Cho em hỏi chổ lấy đạo hàm $h'(\xi)$ sao ra vậy vậy ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
pega94 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 25-07-2020, 10:06 AM   #2
quangtu123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2014
Bài gởi: 10
Thanks: 3
Thanked 4 Times in 4 Posts
Chỗ đấy áp dụng định lý Rolle (hoặc định lý giá trị trung bình) cho hàm $h(t)$, từ đó thu được sự tồn tại của một điểm $\xi$ thỏa mãn hệ thức.

Nhưng mấy hệ thức bạn viết nhìn hơi kỳ, mình không hiểu cái gì với cái gì nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: quangtu123, 25-07-2020 lúc 10:07 AM Lý do: chính tả latex
quangtu123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-08-2020, 02:18 PM   #3
pega94
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gởi: 191
Thanks: 35
Thanked 17 Times in 17 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi quangtu123 View Post
Chỗ đấy áp dụng định lý Rolle (hoặc định lý giá trị trung bình) cho hàm $h(t)$, từ đó thu được sự tồn tại của một điểm $\xi$ thỏa mãn hệ thức.

Nhưng mấy hệ thức bạn viết nhìn hơi kỳ, mình không hiểu cái gì với cái gì nữa.
Lấy đạo hàm cách nào cái hàm dài nhằn. anh lấy trong sách bác Mậu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
pega94 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-08-2020, 08:08 PM   #4
quangtu123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2014
Bài gởi: 10
Thanks: 3
Thanked 4 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi pega94 View Post
Lấy đạo hàm cách nào cái hàm dài nhằn. anh lấy trong sách bác Mậu
Do ký hiệu lằng nhằng nên em không giúp anh chi tiết được, nhưng nói chung hàm đấy là tổng của một số hàm đa thức và các đạo hàm của $f$, hơn nữa chỉ lấy đạo hàm một lần, khả năng là áp dụng Leibniz $(hg)'=h'g+hg'$ rồi cộng lại, nhóm các số hạng hợp lý là được.

Cũng có thể em bỏ sót mất điều gì đó. Em chỉ suy đoán dựa trên những gì em hiểu được thôi, anh tùy nghi áp dụng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
quangtu123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-08-2020, 09:22 PM   #5
pega94
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gởi: 191
Thanks: 35
Thanked 17 Times in 17 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi quangtu123 View Post
Do ký hiệu lằng nhằng nên em không giúp anh chi tiết được, nhưng nói chung hàm đấy là tổng của một số hàm đa thức và các đạo hàm của $f$, hơn nữa chỉ lấy đạo hàm một lần, khả năng là áp dụng Leibniz $(hg)'=h'g+hg'$ rồi cộng lại, nhóm các số hạng hợp lý là được.

Cũng có thể em bỏ sót mất điều gì đó. Em chỉ suy đoán dựa trên những gì em hiểu được thôi, anh tùy nghi áp dụng.
Nguyên cái tổng sigma mà anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
pega94 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-08-2020, 10:01 PM   #6
quangtu123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2014
Bài gởi: 10
Thanks: 3
Thanked 4 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi pega94 View Post
Nguyên cái tổng sigma mà anh
$(\sum f_i)'=\sum f_i'$, còn mỗi $f_i$ thì là một tích $g_i h_i$, thì sẽ được $\sum g_i'h_i+\sum g_ih_i'$. Sau đó viết các $g_i, h_i, g_i', h_i'$ ra và nhóm các số hạng vào. khả năng là thế.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
quangtu123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:31 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2020, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 58.71 k/66.54 k (11.77%)]