Chứng minh bất đẳng thức ba biến dương

khanhkhtn · 11-10-2012, 12:20 AM

Cho $x,y,x$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:
$x^2+y^2+z^2+xy^2+yz^2+zx^2 \ge 2(xy+yz+zx)$

mathmath123 · 11-10-2012, 06:16 AM

Từ giả thiết $\Rightarrow x+y+z\geq 3$
Theo BĐT AM-GM ta có
$$\sum x^{2}y+\sum y\geq 2\sum xy$$
Ta cần chứng minh
$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq x+y+z$$
Nhận thấy
$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq\frac{(x+y+z)^{2}}{3}\geq x+y+z$$
Bất đẳng thức được chứng minh

khanhkhtn · 11-10-2012, 02:08 PM

Trích:

Nguyên văn bởi mathmath123

Từ giả thiết $\Rightarrow x+y+z\geq 3$
Theo BĐT AM-GM ta có
$$\sum x^{2}y+\sum y\geq 2\sum xy$$
Ta cần chứng minh
$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq x+y+z$$
Nhận thấy
$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq\frac{(x+y+z)^{2}}{3}\geq x+y+z$$
Bất đẳng thức được chứng minh

Nhận xét:lời giải của bạn đúng nhưng nhầm bởi đề bài là $\sum_{cyc}xy^2$ chứ không phải là $\sum_{cyc}x^2y$
Cách giải của bạn đơn giản đấy.Đây là BĐT không quá chặt và mình sáng tạo nó từ AM-GM:
Ta có:$$x^2+xy^2+y \ge 3xy \Rightarrow \sum_{cyc}x^2+\sum_{cyc}xy^2+\sum_{cyc}x \ge 3\sum_{cyc}xy .(1)$$
và:$$x^2+zx^2+y \ge 3x \Rightarrow \sum_{cyc}x^2+\sum_{cyc}xy^2 \ge 2\sum_{cyc}x .(2)$$
Nhân 2 vào (1) và cộng với (2) ta được:

$$\sum_{cyc}x^2+\sum_{cyc}xy^2 \ge 2\sum_{cyc}xy$$

q785412369 · 11-10-2012, 02:52 PM

Còn 1 cách khác như sau : trong 3 số $x,y,z$ tồn tại 2 số cùng $\ge 1$ hoặc cùng $\le 1$. Giả sử là $x,y$, khi đó ta có $z(x-1)(y-1) \ge 0$ hay $xyz \ge xz+yz-z$.
Từ đó, sử dụng AM-GM ta có $VT \ge x^2+y^2+z^2 + 2xyz + 1 \ge x^2+y^2+z^2+1 + 2xz + 2yz -2z$.
Ta cần chứng minh $x^2+y^2+z^2+1 + 2xz + 2yz -2z \ge 2(xy+yz+zx)$ hay $(x-y)^2 + (z-1)^2 \ge 0$ (đúng !).

khanhkhtn · 11-10-2012, 10:28 PM

Trích:

Nguyên văn bởi q785412369

Còn 1 cách khác như sau : trong 3 số $x,y,z$ tồn tại 2 số cùng $\ge 1$ hoặc cùng $\le 1$. Giả sử là $x,y$, khi đó ta có $z(x-1)(y-1) \ge 0$ hay $xyz \ge xz+yz-z$.
Từ đó, sử dụng AM-GM ta có $VT \ge x^2+y^2+z^2 + 2xyz + 1 \ge x^2+y^2+z^2+1 + 2xz + 2yz -2z$.
Ta cần chứng minh $x^2+y^2+z^2+1 + 2xz + 2yz -2z \ge 2(xy+yz+zx)$ hay $(x-y)^2 + (z-1)^2 \ge 0$ (đúng !).

Cách này hay đấy? Bạn tự nghĩ ra ah?

**Snow Bell** · 12-10-2012, 07:17 AM

Trích:

Nguyên văn bởi khanhkhtn

Cách này hay đấy? Bạn tự nghĩ ra ah?

Mình nghĩ ý tưởng của lời giải xuất phát từ bđt phụ quen thuộc sau:
$$ x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \ge 2(xy+yz+zx) $$
Bđt phụ này có thể chứng minh bằng nguyên lý Dirichlet hoặc sử dụng bđt Schur.

q785412369 · 12-10-2012, 12:58 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Vinh Phuc

Mình nghĩ ý tưởng của lời giải xuất phát từ bđt phụ quen thuộc sau:
$$ x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \ge 2(xy+yz+zx) $$
Bđt phụ này có thể chứng minh bằng nguyên lý Dirichlet hoặc sử dụng bđt Schur.

Dét đát rai

11-10-2012, 12:20 AM	#1
khanhkhtn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 58 Thanks: 4 Thanked 21 Times in 14 Posts	Chứng minh bất đẳng thức ba biến dương Cho $x,y,x$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng: $x^2+y^2+z^2+xy^2+yz^2+zx^2 \ge 2(xy+yz+zx)$ thay đổi nội dung bởi: khanhkhtn, 11-10-2012 lúc 12:30 AM

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây

11-10-2012, 06:16 AM	#2
mathmath123 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 45 Thanks: 82 Thanked 12 Times in 8 Posts	Từ giả thiết $\Rightarrow x+y+z\geq 3$ Theo BĐT AM-GM ta có $$\sum x^{2}y+\sum y\geq 2\sum xy$$ Ta cần chứng minh $$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq x+y+z$$ Nhận thấy $$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq\frac{(x+y+z)^{2}}{3}\geq x+y+z$$ Bất đẳng thức được chứng minh

11-10-2012, 02:52 PM	#4
q785412369 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 97 Thanks: 144 Thanked 42 Times in 27 Posts	Còn 1 cách khác như sau : trong 3 số $x,y,z$ tồn tại 2 số cùng $\ge 1$ hoặc cùng $\le 1$. Giả sử là $x,y$, khi đó ta có $z(x-1)(y-1) \ge 0$ hay $xyz \ge xz+yz-z$. Từ đó, sử dụng AM-GM ta có $VT \ge x^2+y^2+z^2 + 2xyz + 1 \ge x^2+y^2+z^2+1 + 2xz + 2yz -2z$. Ta cần chứng minh $x^2+y^2+z^2+1 + 2xz + 2yz -2z \ge 2(xy+yz+zx)$ hay $(x-y)^2 + (z-1)^2 \ge 0$ (đúng !).