Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 trung học phổ thông chuyên sư phạm.

[thanh_tung]

Em không biết gõ latex nên gửi đề lên vậy. Híc
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ThangToan]

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
TRƯỜNG THPT chuyên


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10

Năm học: 2010-2011

MÔN TOÁN, NGÀY 1, THỜI GIAN: 180 PHÚT

Câu 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
17({x^2} + {y^2}) + \frac{{12}}{{{{(x + y)}^2}}} + 14xy = 521\\
2x + \frac{1}{{x + y}} = 12
\end{array} \right. $




Câu 2: Cho các số dương x,y,z,t. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\[S = \sum\limits_{cyc}^{x,y,z,t} {\sqrt[3]{{{{(\frac{x}{{x + y}})}^7}}}} \] $

Câu 3: Chứng minh rằng không tồn tại đa thức P(x) và Q(x) sao cho

$\sqrt {{x^2} + 1} = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} $ với mọi $x\in \mathbb{R} $
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. I,J theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH và tam giác ACH. HI và HJ theo thứ tự cắt AB,AC tại $C_1, B_1 $ . $BB_1, CC_1 $ theo thứ tự cắt IJ tại $B_2, C_2 $ .
1) Chứng minh rằng AH, $BB_1, CC_1 $ đồng quy và IJ song song $B_1C_1 $
2) Tính góc $B_2HC_2 $



.................................................. ..............Hết............................... ...............................
------------------------------
Câu 2: Cho các số dương x,y,z,t. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\[S = \sum\limits_{cyc}^{x,y,z,t} {\sqrt[3]{{{{(\frac{x}{{x + y}})}^7}}}} \] $

Trước hết ta chứng minh bổ đề:
Cho $a, b, c, d $ là các số dương thỏa mãn $abcd=1 $. Khi đó $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c) ^2}+\frac{1}{(1+d)^2}\ge 1 $.
sau đó đặt $a=\frac{y}{x}, b=\frac{z}{y}; b=\frac{t}{z}, b=\frac{x}{t} $ thì $abcd=1 $. Sau đó sử dụng bdt AM-GM cho 6 số $m^{\frac{7}{3}} $ và số ${(\frac{1}{2})}^{\frac{7}{3}} $ ta được:
$6m^{\frac{7}{3}}+{(\frac{1}{2})}^{\frac{7}{3}}\ge
7m^2.{(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}.\sqrt[7]{6} $. Khi đó áp dụng với $m=a, b, c, d $ và sử dụng bổ đề trên ta được dpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi thangtoancvp

[CENTER]Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
TRƯỜNG THPT chuyên

Câu 3: Chứng minh rằng không tồn tại đa thức P(x) và Q(x) sao cho

$\sqrt {{x^2} + 1} = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} $ với mọi $x\in \mathbb{R} $

Giả sử tồn tại thỏa mãn $2 $ đa thức $P(x) $và
$Q(x) $ thỏa mãn đề bài thì ta có :

$[P(x)]^2=[Q(x)]^2(x^2+1) $

Điều này chứng tỏ $\deg P(x)=\deg Q(x)+1. $

Suy ra$ P(x)=Q(x)(ax+b)+R(x) ( \deg R(x) < \deg Q(x)) $
Từ giả thiết ta có :

$[Q(x)(ax+b)+R(x)]^2=[Q(x)]^2(x^2+1) $

$\Rightarrow [Q(x)]^2(ax+b)^2+2Q(x)R(x)(ax+b)+[R(x)]^2=[Q(x)]^2x^2+[Q(x)]^2 $

$\Rightarrow a^2Q[(x)]^2x^2+2ab[Q(x)]^2x+b^2[Q(x)]^2+2Q(x)R(x)(ax+b)+[R(x)]^2=[Q(x)]^2x^2+[Q(x)]^2 $


Như vậy hệ số của x có số mũ cao nhất ở 2 vế sẽ bằng nhau , chứng tỏ $a=1 $.

Suy ra

$2b[Q(x)]^2x+b^2[Q(x)]^2+2Q(x)R(x)(x+b)+[R(x)]^2=[Q(x)]^2 $

suy ra $b=0 $
Tức là $[Q(x)]^2=2Q(x)R(x)x+[R(x)]^2 $ (1)
Từ đó ta dễ thấy $Q(x)=R(x)(cx+d)+S(x) (\deg S(x)<\deg R(x)) $

$\Rightarrow 2(R(x)(cx+d)+S(x))R(x)x+[R(x)]^2=(R(x)(cx+d)+S(x))^2 $

Tương tư ta cũng có $c=2 $

Lúc này $2[R(x)(2x+d)+S(x)]R(x)x+[R(x)]^2=[R(x)(2x+d)+S(x)]^2 $

tức là : $[R(x)]^2=[R(x)]^2(2dx+d^2)+2R(x)S(x)(x+d)+[S(x)]^2 $

Đến đây ta phải có $d=0 $

Suy ra

$[R(x)]^2=2R(x)S(x)x+[S(x)]^2 $

Ta thấy nó giống (1) và như vậy nếu ta làm liên tục thì sẽ có:
$\deg R(x)>\deg R_0(x)>\deg R_1(x)>...>\deg R_n(x)=0 $ thì sẽ không tồn tại $S(x) $ ( Vô lí)
ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi thangtoancvp

Câu 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
17({x^2} + {y^2}) + \frac{{12}}{{{{(x + y)}^2}}} + 14xy = 521\\
2x + \frac{1}{{x + y}} = 12
\end{array} \right. $

Đặt $t = x+y \neq 0 $.
Hệ đã cho tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}17(x+y)^2 + \dfrac{{12}}{{{{(x + y)}^2}}} -20xy = 521\\2x + \frac{1}{{x + y}} = 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}17t^2 + \dfrac{{12}}{{{t^2}}} -20xy = 521\\2x + \dfrac{1}{t} = 12 \end{array} \right. $

Từ PT thứ hai, ta thấy rằng: $x = 6 - \frac{1}{2t} $ và $y = t - x = t - 6 +\frac{1}{2t} = \frac{2t^2-12t+1}{2t} $.
Thay vào PT ở trên, ta được:
$17t^2 + \dfrac{{12}}{{{t^2}}} -20(6-\frac{1}{2t})(\frac{2t^2-12t+1}{2t}) = 521 \Leftrightarrow 17t^2 + \dfrac{{12}}{{{t^2}}} -\frac{5(12t-1)(2t^2-12t+1)}{t^2} = 521 $.

Quy đồng và rút gọn, ta được PT sau:
$17t^4-120t^3+209t^2-120t+17=0 $.
Đây là phương trình đối xứng nên ta có thể giải tiếp theo công thức.
Chia hai vế cho $t^2 $ và đặt $u = t+\frac{1}{t} $.
$ 17(t^2+\frac{1}{t^2})-120(t+\frac{1}{t})+209=0 \Leftrightarrow 17(u^2-2)-120u+209=0 \Leftrightarrow u = 5 \vee u = \frac{35}{17} $.

-Với $u = 5 $, ta tính được $t =\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} $. Ta được hai nghiệm của hệ là:
$(\frac{19-\sqrt{21}}{4}, \frac{-9-\sqrt{21}}{4}),(\frac{19+\sqrt{21}}{4}, \frac{-9+\sqrt{21}}{4}), $

- Với $u = \frac{35}{17} $, ta tính được $t = \frac{35 \pm \sqrt{69}}{34} $. Ta được hai nghiệm của hệ là:
$(\frac{373+\sqrt{69}}{68}, \frac{-303+\sqrt{69}}{68}),(\frac{67-\sqrt{69}}{68}, \frac{-303-\sqrt{69}}{68}), $.

Vậy HPT đã cho có 4 nghiệm phân biệt như trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ThangToan]

Câu 3: Chứng minh rằng không tồn tại đa thức P(x) và Q(x) sao cho

$\sqrt {{x^2} + 1} = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} $ với mọi $x\in \mathbb{R} $

Giả sử tồn tại hai đa thức $P(x), Q(x) $ thỏa mãn yêu cầu. Khi đó ta có: $P^2(x)=(x^2+1)Q^2(x), \forall x\in \mathbb{R} $ (1) và
$degP(x)=degQ(x)+1 $.
Từ đó dễ thấy: $P(i)=0; P(-i)=0 $ nên $P(x)=(x^2+1)P_1(x) $ thay vào (1) ta có:
$Q^2(x)=(x^2+1)P_1^2(x), \forall x\in \mathbb{R} $. Lí luận tương tự ta được tồn tại đa thức $Q_1(x) $ sao cho:
$Q(x)=(x^2+1)Q_1(x) $ thay trở lại đẳng thức trên ta được:
$P_1^2(x)=(x^2+1)Q_1^2(x), \forall x\in \mathbb{R} $.
Cứ tiếp tục lí luận như vậy và do bậc của $Q(x) $ là hữu hạn nên xảy ra hai khả năng:
TH1. tồn tại $Q_n(x) $ có $degQ_n(x)=0 $ thì $degP_n(x)=1 $ kiểm tra trực tiếp vào đẳng thức
$P_n^2(x)=(x^2+1)Q_n^2(x), \forall x\in \mathbb{R} $ không xảy ra.
TH2. tồn tại $Q_n(x) $ có $degQ_n(x)=1 $ thì $degP_n(x)=2 $ kiểm tra trực tiếp vào đẳng thức
$P_n^2(x)=(x^2+1)Q_n^2(x), \forall x\in \mathbb{R} $ không xảy ra.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kthptdc4]

Nguyên văn bởi thangtoancvp

[CENTER]

Câu 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
17({x^2} + {y^2}) + \frac{{12}}{{{{(x + y)}^2}}} + 14xy = 521\\
2x + \frac{1}{{x + y}} = 12
\end{array} \right. $

Viết hệ lại thành
$\left\{ \begin{matrix}
12\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}+\frac{1}{{{\left( x+y \right)}^{2}}} \right]+5{{\left( x-y \right)}^{2}}=521 \\
\left( x+y \right)+\frac{1}{x+y}+\left( x-y \right)=12 \\
\end{matrix} \right.
$

Đặt $x+y+\frac{1}{x+y}=a;\,\,x-y=b $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ThangToan]

Nguyên văn bởi kthptdc4

Viết hệ lại thành
$\left\{ \begin{matrix}
12\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}+\frac{1}{{{\left( x+y \right)}^{2}}} \right]+5{{\left( x-y \right)}^{2}}=521 \\
\left( x+y \right)+\frac{1}{x+y}+\left( x-y \right)=12 \\
\end{matrix} \right.
$

Đặt $x+y+\frac{1}{x+y}=a;\,\,x-y=b $

Bài toán này đã có trong đề thi học sinh giỏi lớp 9 của tỉnh Thái Bình năm 2009 hay 2010 (mình không nhớ rõ)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanh_tung]

Câu 3: Mình làm thế này chẳng biết có đúng không:
Điều kiện Q(x) khác 0 với mọi x hay Q(x) vô nghiệm
Suy ra degQ(x)=2t. Ta có:
P(x)=Q(x)$\sqrt{x^{2}+1} $;
Q(x) vô nghiệm, $\sqrt{x^{2}+1} $ vô nghiệm nên P(x) vô nghiệm;
Suy ra degP(x)=2h. Ta có:
($P(x))^{2} $=($Q(x))^{2} $.($x^{2} $+1)
Suy ra deg( $\sqrt{x^{2}+1} $)=2(h-t).
Vậy $\sqrt{x^{2}+1} $=$a^{2n}_{2n} $+...+$a_{0} $.( $a_{2n} $$\neq $0)
Hay $x^{2} $+1=$(a^{2n}_{2n} $+...+$a_{0})^{2} $
degvt=2; degvp chia hết cho 4, mâu thuẫn
Vậy không tồn tại P, Q thỏa mãn đề bài.
Mãi mới gõ được một bài ra hồn!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[stupidboy]

Đề thi ngày 2. Thời gian: 180 phút
__________________________________________________

Câu I: Cho dãy số $F(n) $ xác định bởi công thức: $F_1 = F_2 = 1 $ và $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} $
Chứng minh rằng $F_n + 1 $ không là số nguyên tố với mọi $n \ge 4 $.

Câu II: Tìm các số nguyên dương $x,y $ $(x > 1) $ và các số nguyên tố $p,q $ thỏa mãn $p^x -q^x = 2^y $.

Câu III: Với mỗi số nguyên $x $, kí hiệu $r(x) $ là số dư khi chia $x $ cho $10 $. Xét $A={1;2;...;9} $. Hỏi có hay không tồn tại tập con $B $ của $A $ sao cho $A = \{ r(x+y)| x,y \in B, x \neq y \} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi stupidboy

Câu I: Cho dãy số $F(n) $ xác định bởi công thức: $F_1 = F_2 = 1 $ và $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} $
Chứng minh rằng $F_n + 1 $ không là số nguyên tố với mọi $n \ge 4 $.

Ở câu này, ta cần chứng minh hai điều sau:

- Với mọi $n \equiv 1, 2 \pmod{3} $ thì $F_n $ là số lẻ.
- Với mọi $n \equiv 0 \pmod{3} $ thì $F_n $ chia 3 dư 2.

Cả hai điều này đều được chứng minh bằng quy nạp với những số hạng đầu là $F_1 = F_2 = 1 $.

Dễ thấy rằng khi đó $F_n + 1 $ hoặc chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Phongvan34]

Tiền bối nào giải giúp vãn bối bài 3 ngày 2 với !
Đề ra chẳng rõ chút nào.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanh_tung]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Ở câu này, ta cần chứng minh hai điều sau:

- Với mọi $n \equiv 1, 2 \pmod{3} $ thì $F_n $ là số lẻ.
- Với mọi $n \equiv 0 \pmod{3} $ thì $F_n $ chia 3 dư 2.

Cả hai điều này đều được chứng minh bằng quy nạp với những số hạng đầu là $F_1 = F_2 = 1 $.

Dễ thấy rằng khi đó $F_n + 1 $ hoặc chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố.

$F_9 = 34 $ chia 3 dư 1 mà!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi stupidboy

Câu II: Tìm các số nguyên dương $x,y $ $(x > 1) $ và các số nguyên tố $p,q $ thỏa mãn $p^x +q^x = 2^y $

nếu $p=q=2 $ thì $y=x+1 $. do đó ta xét trường hợp có ít nhất một số lẻ nhưng tổng lũy thừa $x $ của chúng là một số chẵn nên ta chỉ cần xét trường hợp $p $ và $q $ đều lẻ.
Nếu $x $ là số chẵn thì vế trái sẽ chia cho 4 dư 2 còn vế phải chia hết cho 4 vì $y >x+1>2 $
Nếu $x $ là số lẻ thì $VT=(p+q)(p^{x-1}-...+q^{x-1})=2^y $
trường hợp này ta sẽ loại luôn vì theo đề bài không xét nghiệm của phương trình $p+q=2^y $.
Vậy ta có nghiệm duy nhất $(p,q)=(2,2) $ và $y=x+1 ( x \in \mathbb{N^+} ) $

Nguyên văn bởi stupidboy

Câu III: Với mỗi số nguyên $x $, kí hiệu $r(x) $ là số dư khi chia $x $ cho $10 $. Xét $A={1;2;...;9} $. Hỏi có hay không tồn tại tập con $B $ của $A $ sao cho $A = \{ r(x+y)| x,y \in B, x \neq y \} $

Tồn tại : Ví dụ $x=5,y=6 $ thì $r(5+6)=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanh_tung]

Nguyên văn bởi stupidboy

Đề thi ngày 2. Thời gian: 180 phút
__________________________________________________



Câu II: Tìm các số nguyên dương $x,y $ $(x > 1) $ và các số nguyên tố $p,q $ thỏa mãn $p^x +q^x = 2^y $.

Chán quá! Câu này tôi chép sai đề thành : Tìm các số nguyên dương $x,y $ $(x > 1) $ và các số nguyên tố $p,q $ thỏa mãn $p^x-q^y=2y $.
Đời đau rồi!!! Ngồi làm cả giờ không ra!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi thanh_tung

Chán quá! Câu này tôi chép sai đề thành : Tìm các số nguyên dương $x,y $ $(x > 1) $ và các số nguyên tố $p,q $ thỏa mãn $p^x+q^y=2y $.
Đời đau rồi!!! Ngồi làm cả giờ không ra!!!

Đề thế này thì càng dễ mà bạn, theo Bernoulli:
$q^y=[(q-1)+1]^y > (q-1)y+1 $

vậy $2|p $ suy ra $p=2 $ vậy $2^x+2^y=2y $ , theo quy nạp thì $2^y \ge 2y $

Vậy PT vô nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]