Một bài bất đẳng thức dùng phương pháp khảo sát.

ngduychien · 19-01-2008, 11:45 AM

Cmr: $x^4+(1-x)^4\ge\frac {1}{8} $

conan236 · 19-01-2008, 02:18 PM

Trích:

Nguyên văn bởi ngduychien

Cmr: $x^4+(1-x)^4\ge\frac {1}{8} $

cái này cần gì phải khảo sát hàm số vậy anh
sử dụng bdt holder ta có
$[x^4+(1-x)^4](1+1)(1+1)(1+1){\ge}({\sqrt[4]{x^4}}+{\sqrt[4]{(1-x)^4}})^4 $
${\rightarrow}8[x^4+(1-x)^4]{\ge}(|x|+|1-x|)^4{\ge}|x+1-x|^4=1 $
${\rightarrow} $đpcm:burnjossstick:

**dduclam** · 19-01-2008, 02:28 PM

Holder thì càng ít phổ biến hơn khảo sát conan ạ:facebowling: Côsi phát là ra ngay ấy mà

Bài TQ cũng xài dc côsi: $a^n+b^n\ge \frac1{2^{n-1}} $ với $a,b\ge0: a+b=1 $
Bài này có đến 5-6 cách gì đấy

conan236 · 19-01-2008, 02:31 PM

Trích:

Nguyên văn bởi ngduychien

Cmr: $x^4+(1-x)^4\ge\frac {1}{8} $

còn một cách nữa không biết có được nữa::facebowling:
ta có $[x^4+(1-x)^4](1+1){\ge}[x^2+(1-x)^2]^2 $(BCS)
vậy chỉ cần chứng minh $(2x^2-2x+1)^2{\ge}{\frac{1}{4}} $
${\leftrightarrow}|2x^2-2x+1|{\ge}{\frac{1}{2}}(1) $
xét $f(x)=2x^2-2x+1 $
dễ thấy $f(x) $ đồng biến trong $[{\frac{1}{2}},+\infty) $ và nghịch biến trong $(-\infty,{\frac{1}{2}}) $
mà $f({\frac{1}{2}})={\frac{1}{2}} $
${\rightarrow}(1) $ được c/m
${\rightarrow} $đpcm:burnjossstick:

**dduclam** · 19-01-2008, 02:37 PM

Trích:

Nguyên văn bởi conan236

còn một cách nữa không biết có được nữa::facebowling:
ta có $[x^4+(1-x)^4](1+1){\ge}[x^2+(1-x)^2]^2 $(BCS)
vậy chỉ cần chứng minh $(2x^2-2x+1)^2{\ge}{\frac{1}{4}} $
${\leftrightarrow}|2x^2-2x+1|{\ge}{\frac{1}{2}}(1) $
xét $f(x)=2x^2-2x+1 $
dễ thấy $f(x) $ đồng biến trong $[{\frac{1}{2}},+\infty) $ và nghịch biến trong $(-\infty,{\frac{1}{2}}) $
mà $f({\frac{1}{2}})={\frac{1}{2}} $
${\rightarrow}(1) $ được c/m
${\rightarrow} $đpcm:burnjossstick:

Hix,ôi phức tạp thế :facebowling: Côsi nè
$x^4+\frac1{16}+\frac1{16}+\frac1{16}\ge \frac x{2} $
$(1-x)^4+\frac1{16}+\frac1{16}+\frac1{16}\ge \frac {1-x}{2} $

Cộng lại phát

19-01-2008, 11:45 AM	#1
ngduychien +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Hoài Nhơn Bình Định Bài gởi: 16 Thanks: 0 Thanked 7 Times in 3 Posts	Cmr: $x^4+(1-x)^4\ge\frac {1}{8} $ __________________ Có học mới thành công!

19-01-2008, 02:28 PM	#3
dduclam +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Đại học Sư phạm Hà Nội Bài gởi: 481 Thanks: 63 Thanked 168 Times in 92 Posts	Holder thì càng ít phổ biến hơn khảo sát conan ạ:facebowling: Côsi phát là ra ngay ấy mà Bài TQ cũng xài dc côsi: $a^n+b^n\ge \frac1{2^{n-1}} $ với $a,b\ge0: a+b=1 $ Bài này có đến 5-6 cách gì đấy __________________ Một chút cho tâm hồn bay xa