Nhị thức Newton

[Horror Doll]

1/ Biết tổng các hệ số của khai triển nhị thức
$(1+x^2)^n $ bằng 1024, tìm hệ số của số hạng $x^{12} $
hình như có 1 mem nào đó trong 4r post bài này rồi nhỉ, nhưng giờ mình lục lại thì không có, hy vọng các bạn sẽ giải lại cho mình thêm 1 lần nữa, vì mình có nhiều cái để hỏi...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi Horror Doll

1/ Biết tổng các hệ số của khai triển nhị thức
$(1+x^2)^n $ bằng 1024, tìm hệ số của số hạng $x^{12} $
hình như có 1 mem nào đó trong 4r post bài này rồi nhỉ, nhưng giờ mình lục lại thì không có, hy vọng các bạn sẽ giải lại cho mình thêm 1 lần nữa, vì mình có nhiều cái để hỏi...

Ta thấy khai triển của biểu thức trên có dạng:
$(1+x^2)^n = \sum_{k=0}^nC_{n}^kx^{2k} $.
Tính tổng hệ số ở đây chính là tính tổng của tất cả những đại lượng đứng trước x trong từng số hạng, chính là $ \sum_{k=0}^nC_{n}^k $. Như thế, ta cho $x=1 $ thì bên VP sẽ xuất hiện tổng cần tính, bên VT sẽ ra là $2^n $.
Do đó, theo giả thiết, $2^n= 1024 $ và có $n=10 $.
Từ đây ta dễ dàng có được hệ số của $x^{12} $ là $C_{10}^6 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phamtram]

Cho mình hỏi, vì sao lại phải nhất thiết là x =1, = 2 có được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[HBM]

Vì khi $x=1 $ thì đấy cũng chính là tổng các hệ số trong khai triển.

Anh Lữ mỗi lần lên là chơi ngay mấy topic nhở

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi phamtram

Cho mình hỏi, vì sao lại phải nhất thiết là x =1, = 2 có được không?

Tất nhiên là không được rồi bạn ạ.
Ở đây mỗi số hạng có dạng $C_n^k x^{2k} $, trong khi mình chỉ muốn xét đến $C_n^k $ mà không có sự có mặt của x trong đó, như thế phải cho x nhận giá trị cụ thể.
Tuy nhiên, không thể cho tuỳ tiện được. Mình đang muốn tính tổng $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2+...+C_n^n $, nếu thay x bởi 2 thì bên VP không còn có dạng đó nữa mà nó lại là $C_n^0 + 4C_n^1 + 16C_n^2+...+ $, đây không phải là cái mình muốn tính.
------------------------------

Nguyên văn bởi HBM

Vì khi $x=1 $ thì đấy cũng chính là tổng các hệ số trong khai triển.

Anh Lữ mỗi lần lên là chơi ngay mấy topic nhở

Hihi! Tranh thủ chút mà em! Bỏ không lên dd mấy ngày nên cũng đang ghiền!

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phamtram]

Tiếp luôn cho tớ mấy bài này:
2/ Cho n là số nguyên dương thoả $ C_n^{n-1} + C_n^{n-2} = 55 $. Tìm số số hạng là số nguyên trong khai triển $\sqrt [6]{32} $
3/ Tìm hệ số của $x^8 $ trong khai triển đa thức
$P(x) = (1+x)^6 + (1+x)^7 + (1+x)^8 + (1+x)^9 + (1+x)^{10} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[HBM]

Nguyên văn bởi phamtram

Tiếp luôn cho tớ mấy bài này:

3/ Tìm hệ số của $x^8 $ trong khai triển đa thức
$P(x) = (1+x)^6 + (1+x)^7 + (1+x)^8 + (1+x)^9 + (1+x)^{10} $

Làm bài 3 xong rồi ngủ thôi. Ta nhận xét thấy 2 cái nhị thức $(1+x)^6 $ và $(1+x)^7 $ không thể cho ra $x^8 $ được nên ta chỉ cần quan tâm 3 cái nhị thức còn lại. Sử dụng công thức Newton cho từng thằng để tìm hệ số của $x^8 $ rồi cộng lại là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[251295]

Bài 2:

Chẳng biết bạn cho khai triển nào nữa, mình cứ tìm n trước vậy

$C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=55
\Leftrightarrow \frac{n!}{(n-1)!}+\frac{n!}{(n-2)!2!}=55
\Leftrightarrow 2n+n(n-1)=110
\Leftrightarrow n=10 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Nguyên văn bởi phamtram

Tiếp luôn cho tớ mấy bài này:
2/ Cho n là số nguyên dương thoả $ C_n^{n-1} + C_n^{n-2} = 55 $. Tìm số số hạng là số nguyên trong khai triển $\sqrt [6]{32} $
3/ Tìm hệ số của $x^8 $ trong khai triển đa thức
$P(x) = (1+x)^6 + (1+x)^7 + (1+x)^8 + (1+x)^9 + (1+x)^{10} $

Bài 2 mình không hiểu đề lắm. Sao lại khai triển $\sqrt [6]{32} $ nhỉ.
Còn bài 3 thì Minh đẹp dai đã xơi rùi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phamtram]

Nguyên văn bởi thephuong

Bài 2 mình không hiểu đề lắm. Sao lại khai triển $\sqrt [6]{32} $ nhỉ.

chết cha , xin lỗi xin lỗi, tớ chép nhầm đề, hic
khai triển thứ này đây cậu $\left( \sqrt [6]{32} + \sqrt{2} \right)^n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi phamtram

chết cha , xin lỗi xin lỗi, tớ chép nhầm đề, hic
khai triển thứ này đây cậu ($\sqrt [6]{32} $+$\sqrt{2})^n $

Nhắc nhở bạn phamtram:
Thứ nhất: Khi gửi đề bài lên bạn nên có trách nhiệm với đề bài của mình cho các thành viên khác đỡ mất thời gian làm bài.
Thứ hai: Khi tham gia diễn đàn bạn không nên có những câu chửi thề như vậy.
Thứ ba: chú ý Latex của bạn.
Hi vọng bạn sẽ rút kinh nghiệm cho những lần gửi bài sau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phamtram]

@batigoal: oke, hứa lần sau sẽ không tái phạm
mọi người giúp nhanh bài 3 được không ạ, mình không hiểu cái khái niệm "số số hạng" là gì, cái thứ 2, làm cách nào để khai được căn bậc 6...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]