Một số bài tổ hợp

[conami]

Bài 12: Cho 100 đường tròn có cùng đường kính bằng $\frac{1}{3\sqrt{11}} $ và nằm trong 1 hình vuông cạnh 1. Chứng minh rằng ra luôn có thể vẽ được 1 đường thẳng cắt (tại 2 điểm) ít nhất 12 đường tròn trong số các đường tròn đã cho.
Bài 13: Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài mỗi cạnh và độ dài đường chéo AC,AD không vượt quá $\sqrt{3} $ . Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm trong ngũ giác đó. Chứng minh tồn tại một hình tròn đơn vị (có bán kinh bằng 1) có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác đã cho và chứa ít nhất 403 điểm trong số 2011 điểm đã lấy.
Bài 14: Có 99 đường thẳng chia mặt phẳng thành n miền. Biết n<199. Tìm tất cả các giá trị có thể có của n.
Bài 15: Cắt một tờ giấy hình chữ nhật theo một đường thẳng được 2 mảnh. Lấy một trong các mảnh đó,cắt theo một đường thẳng được 2 mảnh. Cứ tiếp tục như vậy nhiều lần. Hỏi cần phải cắt ít nhất bao nhiêu lần để được 10 hình lục giác

P/s: Các bài toán của minhdeptrai26 mà chưa có lời giải thì mọi người post lên dùm em để em tham khảo cái, đừng nói là trong sách này sách kia thế chứ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nghiepdusocap]

Bài 13 là bài 4 đề thi VMO năm nay mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[messiTLS]

Bài 14: Có 99 đường thẳng chia mặt phẳng thành n miền. Biết n<199. Tìm tất cả các giá trị có thể có của n.
Giải: các giá trị có thể có là 100 và 198
nếu có 3 đường thẳng cùng giao nhau từng dôi một thì ít nhất có 2 đường thẳng cắt cả 96 đường còn lại , do đó có ít nhất 97*3>199 mặt phẳng
do dó hoặc là cả 99 đường thẳng đều ss hoặc 98 đường ss và đường còn lại cắt cả 98 đường đó từ đó suy ra được 2 kq trên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi conami

Bài 8 có vấn đề gì không thế? vẽ 1 ngũ giác đều song rồi thì kiểu gì chả kẻ được các đường thẳng song song với nhau mà chũng chứa các đỉnh của ngũ giác

Muốn cách vẽ này là 1 phủ định của đề thì các đường thẳng song song đó phải cách đều nhau, nhưng như thế thì chưa chắc đã tồn tại.
------------------------------

Nguyên văn bởi conami

Bài 13: Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài mỗi cạnh và độ dài đường chéo AC,AD không vượt quá $\sqrt{3} $ . Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm trong ngũ giác đó. Chứng minh tồn tại một hình tròn đơn vị (có bán kinh bằng 1) có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác đã cho và chứa ít nhất 403 điểm trong số 2011 điểm đã lấy.

Bài này nếu chú ý cách phủ ABCDE bởi những hình tròn thì ta thấy chỉ cần 4 hình tròn là đủ và số $403=\left [ \frac{2011}{5} \right ]+1 $ trong đề có thể thay bằng $503=\left [ \frac{2011}{4} \right ]+1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lion]

Nguyên văn bởi conami

Bài 13: Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài mỗi cạnh và độ dài đường chéo AC,AD không vượt quá $\sqrt{3} $ . Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm trong ngũ giác đó. Chứng minh tồn tại một hình tròn đơn vị (có bán kinh bằng 1) có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác đã cho và chứa ít nhất 403 điểm trong số 2011 điểm đã lấy.

Bài 4 VMO 2011:
[Only registered and activated users can see links. ]


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hien123]

Nguyên văn bởi conami

Chém tiếp bài nữa


CHọn em bé cầm được nhiều bóng nhất sau hồi còi.Ta sẽ chứng minh em bé đó lúc này cầm trong tay nhiều nhất 5 quả.
Thật vậy. Coi em này là điểm A trên mặt phẳng .Giả sử sau hiều lệnh có 6 em B,C,D,E,F,G đưa bóng cho em A này. Điều này chứng tỏ với mỗi em thì em A là em gần nhất. (1)
Xét 6 góc tạo bởi 7 điểm trên,có chung đỉnh A và không có điểm chung trong. Theo nguyen lí Dirichle thì tồn tại 1 góc nhỏ hơn 60 độ. Giả sử đó là góc BAC. Xét tam giác BAC. Từ(1) suy ra BC<AC vì A gần C nhất và BC<AB vì A gần B nhất, do đó BC là cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC (Điều này vô lí vì nếu như vậy thì tổng 3 góc của tam giác ABC nhỏ hơn 180 độ).Suy ra giả sử sai.
Trường hợp có nhiều hơn 6 em đưa bóng cho em A lại càng vô lí
Vậy sau hiệu lệnh thì em nhận nhiều bóng chỉ nhận nhiều nhất 5 quả bóng, cộng với trên tay em ấy ban đầu có 1 quả là 6 nhưng đã đưa cho 1 bạn khác gần nhất nên tóm lại trên tay em ấy cầm 5 quả.
Với 5 quả còn lại, có thể xảy ra trường hợp 1 em cầm được 5 quả đó. Em đó đưa quả bóng của mình cho bạn A, sau đó nhận quả bóng bạn A đưa cho và 4 quả bóng khác từ những bạn không đưa bóng cho bạn A.
Kết luận: CÓ ít nhất 2 em còn có bóng trong tay

Bài này giải chưa đúng, bạn mới chỉ chứng minh rằng số em có bóng lớn hơn hoặc bằng 2 mà chưa chỉ ra rằng dấu bằng có xảy ra một cách chính xác và thực tế kết quả bài toán không như vậy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[winwave]

Bài 16: Khởi đầu quân cờ tại một góc trên bàn cờ $n\times n $ ô vuông. Hai người chơi A và B thay nhau di chuyển quân cờ sang (một ô vuông) bên trái, bên phải, lên trên hoặc xuống dưới.Người chơi không thể di chuyển đến ô vuông đã đi qua rồi. Người thua cuộc là người cuối cùng ko thể đi được nữa.Người nào sẽ thắng khi$n $ là số chẵn?Người nào sẽ thắng khi $n $ là số lẻ?Người nào sẽ thắng nếu quân cờ khởi đầu từ ô vuông bên cạnh ô ở góc bàn cờ
Bài 17:Khởi đầu có hai đống quân cờ gồm$p $và$q $quân cờ ứng. A và B thay nhau thực hiện những bước đi. Người chơi thực hiện những bước đi bao gồm lấy đi một đống quân cờ nào đó và chia những quân cờ của đống kia thành hai đống(ko nhất thiết hai đống có số quân cờ bằng nhau)Người thua cuộc là người đến lượt ko còn đống quân cờ nào để chia được. Người nào sẽ thắng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]