Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-05-2012, 10:17 PM   #1
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Chứng minh các BĐT trong tam giác

Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
1. $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}\geq 4-\frac{2r}{R} $
2.$m_{a}+m_{b}+m_{c}\leq 4R+r $
3.$\frac{a+b+c}{8}\leq \left ( \sqrt{2}+1 \right )R $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-05-2012, 10:53 PM   #2
hungqh
+Thành Viên Danh Dự+
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Bài gởi: 512
Thanks: 209
Thanked 287 Times in 224 Posts
1) Mình chém bài này trước.
Ta đưa BĐT cần chứng minh về dạng đại số bằng các công thức quen thuộc. sau đó ta được BĐT tương đương là:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\geq 4abc $
Khai triển rút gọn ta được
$\sum ab(a+b)\geq 6abc $ (đúng theo cauchy)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hungqh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hungqh For This Useful Post:
High high (12-05-2012)
Old 12-05-2012, 12:56 PM   #3
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Mình mới vừa chứng minh được 1 BĐT mạnh hơn BĐT 1
$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}\geq 5-\frac{2r}{R} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-05-2012, 01:00 PM   #4
K56khtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 343
Thanks: 244
Thanked 285 Times in 177 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi High high View Post
Mình mới vừa chứng minh được 1 BĐT mạnh hơn BĐT 1
$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}\geq 5-\frac{2r}{R} $
Cho $ a=b=c $ thì
$$ VT=3 \ge 4=VP $$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyễn Ngọc Khanh
K56khtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-05-2012, 01:03 PM   #5
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Em nhầm
$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}\geq 5-\frac{4r}{R} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-05-2012, 01:14 PM   #6
K56khtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 343
Thanks: 244
Thanked 285 Times in 177 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi High high View Post
Em nhầm
$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}\geq 5-\frac{4r}{R} $
Giờ thì đúng rồi
Bất đẳng thức tương đương với:
$$ 2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a) \ge a^3+b^3+c^3+9abc $$
Có thể thấy bất đẳng thức này tương đương với bdt Schur,nếu đặt:
$$ a=x+y;b=y+z;c=z+x $$
Hai bài còn lại cũng không quá khó nên ko post lời giải nữa
À,mà bất đẳng thức thứ 3,có thể chứng minh:
$$ a+b+c \le 3\sqrt{3} R $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyễn Ngọc Khanh
K56khtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to K56khtn For This Useful Post:
High high (12-05-2012)
Old 12-05-2012, 01:24 PM   #7
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Vậy bài số 3 dấu = xảy ra khi nào vậy anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-05-2012, 01:33 PM   #8
K56khtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 343
Thanks: 244
Thanked 285 Times in 177 Posts
$$ a+b+c \le 3\sqrt{3}R $$
Dấu bằng khi tam giác đều.
Có thể thấy nó tương đương với:
$$ \sin A+\sin B+\sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2} $$
Ngoài ra có thể dựa vào:
$$ 9R^2-(a^2+b^2+c^2)=9 OG^2 \ge 0 $$

$$ 3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2 $$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyễn Ngọc Khanh
K56khtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to K56khtn For This Useful Post:
High high (12-05-2012)
Old 12-05-2012, 01:45 PM   #9
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Không. Ý của anh là sử dụng BĐT đó vào bài số 3. Em hỏi anh là dấu = ở bài số 3 xảy ra khi nào ấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-05-2012, 02:14 PM   #10
K56khtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 343
Thanks: 244
Thanked 285 Times in 177 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi High high View Post
Cho tam giác ABC chứng minh rằng:

3.$\frac{a+b+c}{8}\leq \left ( \sqrt{2}+1 \right )R $
Bất đẳng thức này không có dấu bằng vì ta chứng minh được:
$$ a+b+c \le 3\sqrt{3} R $$

$$ 8(\sqrt{2}+1) > 3\sqrt{3} $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyễn Ngọc Khanh
K56khtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-05-2012, 02:18 PM   #11
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Nhưng nó cũng có thể là tam giác tù mà anh? đề đâu có nó là tam giác nhọn? em nghĩ là có thể xảy ra khi là tam giác tù ấy. Anh xem giúp em
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-05-2012, 02:26 PM   #12
K56khtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 343
Thanks: 244
Thanked 285 Times in 177 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi High high View Post
Nhưng nó cũng có thể là tam giác tù mà anh? đề đâu có nó là tam giác nhọn? em nghĩ là có thể xảy ra khi là tam giác tù ấy. Anh xem giúp em
Không xảy ra đâu em.
Thế này nhé:
$$ 8(\sqrt{2}+1)R>3\sqrt{3} R \ge a+b+c $$
Vậy
$$ \frac{a+b+c}{8} < (\sqrt{2}+1)R $$
Dấu đẳng thức không xảy ra.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyễn Ngọc Khanh
K56khtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:52 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 78.17 k/90.75 k (13.86%)]