Topic Về Số Học

[toantink54]

Tìm các số nguyên dương $x $ và $y $ sao cho $x^2+3y $ và $y^2+3x $ là các số chính phương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toantink54]

Tính\[F = \left\lfloor {\sqrt 2 + \sqrt[3]{{\frac{3}{2}}} + \sqrt[4]{{\frac{4}{3}}} + \ldots + \sqrt[{2017}]{{\frac{{2017}}{{2016}}}} + \sqrt[{2018}]{{\frac{{2018}}{{2017}}}}} \right\rfloor. \]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Bài 1. Chứng minh nếu $a,b $ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì $\bigg(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b\bigg)=1 $ hoặc $n $.
Bài 2. Chứng minh nếu $a,b,c $ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau đồng thời thì $(ab,c)=(a,c)(a,b) $

Số học Hà Huy Khoái

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sonltv_94]

Bài 1
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi sonltv_94

Bài 1http://forum.mathscope.org/showthread.php?p=70336#post70336

khó hiểu thật bài này sai với $a=5,b=3,n=4 $ mà vẫn giải được

Theo mình thì phải sửa đề thành n là số nguyên tố thế là ok
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sonltv_94]

Nguyên văn bởi toantink54

Tìm các số nguyên dương $x $ và $y $ sao cho $x^2+3y $ và $y^2+3x $ là các số chính phương.

+Không mất tổng quát.Giả sử $x \leq y \Rightarrow x^2 < x^2 + 3y < x^2 + 4x + 4 \Rightarrow x^2 + 3y = (x+1)^2 \Rightarrow 3y = 2x + 1 $.Tới đây ta nhận được phương trình $\dfrac{4x^2 + 31x + 1}{9} = a^2(*) $
+Giải $(*) \Leftrightarrow 4x^2 + 31x +1 - 9a^2 =0 \Leftrightarrow \triangle = 105 + 9a^2 = b^2 \Leftrightarrow 105 = (b-3a)(b+3a) $.Tới đây ta sẽ nhận được đáp số bài toán

Nhờ các Mod Gộp hai bài lại dùm em
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Tìm số n sao cho n! có tận cùng 500 chữ số 0

bài này ác quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Số nguyên dương $n $ nào chia hết cho mọi số nguyên dương không vượt quá $\sqrt{n} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[avip]

Nguyên văn bởi daylight

Tìm số n sao cho n! có tận cùng 500 chữ số 0.

Bài này nếu cm đc một số mệnh đề sau thì không quá khó:
1) Với mọi n tự nhiên: số mũ của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n! là $\sum_{i=1}^{\infty} [\frac{n}{p^i}] $.
2) Với mọi n tự nhiên: $\sum_{i=1}^{\infty} [\frac{n}{2^i}] > \sum_{i=1}^{\infty} [\frac{n}{5^i}] $.
3) Với mọi số thực x: $x - 1 < [x] \le x $.
4) Với mọi k tự nhiên: (5k)! , (5k+1)! , (5k+2)! , (5k+3)! , (5k+4)! có cùng số cs 0 tận cùng.

Hướng giải: Ta có: $\sum_{i=1}^{\infty} [\frac{n}{5^i}] = 500 $.
Hệ quả 1: $500 > \frac{n}{5} - 1 \Rightarrow n < 2505
$. Suy ra với mọi i > 4, $[\frac{n}{5^i}] = 0 $ hay $\sum_{i=1}^{\infty} [\frac{n}{5^i}] = \sum_{i=1}^4 [\frac{n}{5^i}] $.
Hệ quả 2: $\frac{n}{5} + \frac{n}{25} + \frac{n}{125} + \frac{n}{625} \ge 500 > \frac{n}{5} - 1 + \frac{n}{25} - 1 + \frac{n}{125} - 1 + \frac{n}{625} - 1 \Rightarrow 2019 \ge n \ge 2004 $.
Thử 3TH của n: 2005, 2010, 2015 rồi tìm ra KQ là n = 2005.

Nguyên văn bởi daylight

Số nguyên dương $n $ nào chia hết cho mọi số nguyên dương không vượt quá $\sqrt{n} $

Bài này chỉ có 2 số thoả là 12 và 24.
Hình như là xét $n \ge 25 $, sử dụng định đề Bertrand, ý tưởng: khi $n \ge 25 $, n phải chia hết 60 ($= lcm(3,4,5) $), suy ra $n \ge 60 $ rồi n phải chia hết 420 ...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi avip

Bài này nếu cm đc một số mệnh đề sau thì không quá khó:
1) Với mọi n tự nhiên: số mũ của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n! là $\sum_{i=1}^{\infty} [\frac{n}{p^i}] $.
2) Với mọi n tự nhiên: $\sum_{i=1}^{\infty} [\frac{n}{2^i}] > \sum_{i=1}^{\infty} [\frac{n}{5^i}] $.
3) Với mọi số thực x: $x - 1 < [x] \le x $.
4) Với mọi k tự nhiên: (5k)! , (5k+1)! , (5k+2)! , (5k+3)! , (5k+4)! có cùng số cs 0 tận cùng.

Hướng giải: Ta có: $\sum_{i=1}^{\infty} [\frac{n}{5^i}] = 500 $.
Hệ quả 1: $500 > \frac{n}{5} - 1 \Rightarrow n < 2505
$. Suy ra với mọi i > 4, $[\frac{n}{5^i}] = 0 $ hay $\sum_{i=1}^{\infty} [\frac{n}{5^i}] = \sum_{i=1}^4 [\frac{n}{5^i}] $.
Hệ quả 2: $\frac{n}{5} + \frac{n}{25} + \frac{n}{125} + \frac{n}{625} \ge 500 > \frac{n}{5} - 1 + \frac{n}{25} - 1 + \frac{n}{125} - 1 + \frac{n}{625} - 1 \Rightarrow 2019 \ge n \ge 2004 $.
Thử 3TH của n: 2005, 2010, 2015 rồi tìm ra KQ là n = 2005.

Kết quả này sai :

$[\frac{2005}{10}]+[\frac{2005}{5}] > 500 $

chưa kể các cái vớ vẩn còn lại

Nguyên văn bởi avip

Bài này chỉ có 2 số thoả là 12 và 24.
Hình như là xét $n \ge 25 $, sử dụng định đề Bertrand, ý tưởng: khi $n \ge 25 $, n phải chia hết 60 ($= lcm(3,4,5) $), suy ra $n \ge 60 $ rồi n phải chia hết 420 ...

cách xét liên tiếp này nếu trực tiếp thử thì đúng là như vậy nhưng mà chứng minh mới là vấn đề , có rất nhiều số thỏa mãn đấy bạn ơi

$1,2,3,4,6,8... $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[avip]

Bài sau đúng là cm chưa đc, nhưng chắc những số thoả < 25.
Còn bài n! thì bạn đếm như vậy chưa đúng: cái phần $[\frac{n}{10}] $ nằm trong phần $[\frac{n}{5}] $ rồi. Do trong dạng pttc của n! số mũ của 2 luôn lớn hơn số mũ của 5 nên số cs 0 tc = số mũ của 5.
Thực ra KQ là 5 số: 2005, 2006, 2007, 2008, 2009.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sonltv_94]

Nguyên văn bởi daylight

Số nguyên dương $n $ nào chia hết cho mọi số nguyên dương không vượt quá $\sqrt{n} $

Bài này không cần dùng đến định đề Bertrand đâu.Gọi $x $ là số nguyên dương thỏa mãn $x \leq \sqrt{n} \leq x+1 \Rightarrow x^2 \leq n \leq (x+1)^2 $ (rõ ràng là $x $ luôn tồn tại ).Theo giả thuyết thì $n \vdots (x-1)x \Rightarrow n = 2(x-1)x \Rightarrow x^2 \leq 4x+1 $.Tới đây ta chặn được $n $

Còn bài ở trên thì mình nghĩ $a;b $ không cùng tính chẵn lẻ là được

Bạn daylight nên tôn trọng công sức của người khác và điều chỉnh lời nói cho phù hợp để k gây mất đoàn kết.Thân

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Nguyên văn bởi avip

Bài này chỉ có 2 số thoả là 12 và 24.
Hình như là xét $n \ge 25 $, sử dụng định đề Bertrand, ý tưởng: khi $n \ge 25 $, n phải chia hết 60 ($= lcm(3,4,5) $), suy ra $n \ge 60 $ rồi n phải chia hết 420 ...

Bài này trong sách "Số học" của Hà Huy Khoái, chương I. Phần này chủ yếu là bài tập dễ nên cách giải cũng không có j phức tạp cả.

Đặt $\left [ \sqrt{n} \right ]=a\ge 1 $ thì vì $a\le \sqrt{n} $ nên $a|n $ suy ra $n=ka $. Lại có:

$a(a+3)>(a+1)^2>ka \ge a^2 $ nên chỉ có $n=a^2;a(a+1);a(a+2) $. Mặt khác, $a-1|n $ (Xét th a=1 trước) nên ta có thể tìm dc a. Từ đó ra dc n.

Cách này có vẻ khá dài nhưng có thể rút ngắn đáng kể. Trên đây chỉ là ý tưởng chính của lời giải thôi.

Chương này ko có bổ đề Bertrand

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Bài 1:Chứng minh rằng :

$\frac{(a_1,a_2,...a_n)}{[a_1,a_2,...a_n]}=\frac{\displaystyle \prod_{i=1}^na_i}{\displaystyle \prod_{cyc}(a_i,a_j)} $

Bài 2:a,b là các số nguyên. Chứng minh rằng với mọi n tồn tại n số liên tiếp của dãy số cộng

$a,a+b,a+2b,.... $

mà mỗi một trong chúng đều là hợp số

Bài 3:Chứng minh rằng nếu ước nguyên tố nhỏ nhất của n là p, thì $x^2-n $ không phải số chính phương nếu $x > \frac{n+p^2}{2p} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sonltv_94]

Bài 2:Chọn $n $ số nguyên tố $p_i $ ( Với $i = \overline{0,n} $ ).Xét hệ đồng dư $a \equiv ib $ (mod $p_i $).Hệ này có nghiệm theo định lý thặng dư trung hoa và ta có thể chọn $a > p_i \forall i = \overline{0,n} $.
Bài 3:Giả sử tồn tại $y $ để mà $x^2 - y^2 = n \Leftrightarrow (x-y)(x+y) = n $.Tồn tại $u;v \in \mathcal{N} $ sao cho $x-y = u;x+y = v \Rightarrow x = \dfrac{u+v}{2} > \dfrac{uv+p^2}{2p} \Leftrightarrow (u-p)(v-p) < 0 $ (Trái với giả thuyết).Đpcm

Mình k chắc cho lắm lời giải bài 2.Vì thật sự chưa hiểu là$a;b $ cho trước hay là.....

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]