Chứng minh $a=b$

[boymetoan90]

Cho $a,b$ và ${{{\rm{a + b}}} \over {{\rm{2}}\sqrt {{\rm{ab}}} }}$ là các số tự nhiên.Chứng minh rằng $a=b$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiendienduong]

Nguyên văn bởi boymetoan90

Cho $a,b$ và ${{{\rm{a + b}}} \over {{\rm{2}}\sqrt {{\rm{ab}}} }}$ là các số tự nhiên.Chứng minh rằng $a=b$

Đặt $d=(a,b) $
suy ra $a=d.a', b=d.b' $, với $(a',b')=1 $
Theo đề ta phải có $ab $ chính phương
$\Leftrightarrow a'b' $ chính phương
tương đương với: $a'=1, b'=k^2 $, hoặc $a'=p^2, b'=q^2 $, ($p, q $ là 2 số nguyên tố phân biệt)
Trường hợp đầu
$\frac{1+k^2}{2k} $ là số tự nhiên
suy ra $1\vdots k\Rightarrow k=1\Rightarrow a=b $
Trườgn hợp sau
$\frac{p^2+q^2}{2pq} $ là số tự nhiên
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
p\vdots q\\ q\vdots p

\end{matrix}\right.\Rightarrow p=q $mâu thuẫn $(a',b')=1 $
Vậy ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[boymetoan90]

Nguyên văn bởi thiendienduong

Trường hợp đầu
$\frac{1+k^2}{2k} $ là số tự nhiên
suy ra $1\vdots k\Rightarrow k=1\Rightarrow a=b $
Trườgn hợp sau
$\frac{p^2+q^2}{2pq} $ là số tự nhiên
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
p\vdots q\\ q\vdots p

\end{matrix}\right.\Rightarrow p=q $mâu thuẫn $(a',b')=1 $
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chỗ này mình vẫn chưa hiểu lắm,bạn có thể nõi rõ hơn một chút được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiendienduong]

Nguyên văn bởi boymetoan90

Chỗ này mình vẫn chưa hiểu lắm,bạn có thể nõi rõ hơn một chút được không?

Ví dụ như $\frac{1+k^2}{2k} $ là số tự nhiên
Suy ra $1+k^2\vdots k\Rightarrow 1\vdots k\Rightarrow k=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]