|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
24-08-2016, 09:48 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 304 Thanks: 70 Thanked 142 Times in 89 Posts | Tính chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục Cho $E = \left\{ {\left\{ {{x_n}} \right\} \subset R:{x_n} \to 0} \right\}$ là không gian tuyến tính với phép cộng hai dãy và phép nhân một số với một dãy thông thường, có chuẩn \[\left\| x \right\| = \mathop {\sup }\limits_n \left\{ {\left| {{x_n}} \right|:n = 1,2,...} \right\}\forall x = \left\{ {{x_n}} \right\} \in E\]. Giả sử: $f:E \to R$ là ánh xạ được ch bởi công thức \[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2{x_n}}}{{{n^3}}}\forall x \in E} \] Chứng minh f tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của f. |
24-08-2016, 11:49 PM | #2 |
Super Moderator | Dễ dàng kiểm tra được $f$ là axtt. Hơn nữa với mọi $x$ ta có \[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2{x_n}}}{{{n^3}}}} } \right| \leqslant 2\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}{{{n^3}}}} \leqslant 2 \cdot {\left\| x \right\|_\infty } \cdot \xi \left( 3 \right)\] nên $f$ là axtt liên tục. Tôi chưa nghĩ ra cách tính chuẩn của toán tử $f$. Mà chắc là không tính được mặc dù nó tồn tại. __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
25-08-2016, 12:23 AM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 304 Thanks: 70 Thanked 142 Times in 89 Posts | Trích:
P/S: Lâu lắm quên rồi. | |
25-08-2016, 08:23 AM | #4 |
Super Moderator | \[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2{x_n}}}{{{n^3}}}} } \right| \leqslant 2 \cdot \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}{{{n^3}}}} \leqslant 2 \cdot {\left\| x \right\|_\infty } \cdot \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^3}}}} \] Cái $\zeta \left( 3 \right) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^3}}}} < + \infty $ là hàm zeta Riemann viết tắt lại thôi, vì mình không nhớ giá trị của $\zeta \left( 3 \right)$ là bao nhiêu cả. __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
The Following User Says Thank You to portgas_d_ace For This Useful Post: | maxmin (25-08-2016) |
25-08-2016, 09:03 AM | #5 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 304 Thanks: 70 Thanked 142 Times in 89 Posts | Trích:
| |
28-08-2016, 05:20 PM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
$$ \|f\| \geq |f(x^{(k)}| = \sum_{n} 2\frac{x_n^{(k)}}{n^3} = \sum_{n\leq k} 2\frac{1}{n^3}, $$ với mọi $k \geq 1$. Cho $k\to\infty$, ta được $$ \|f\|\geq 2 \sum_{n} \frac1{n^3}. $$ | |
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post: | maxmin (30-08-2016) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|