Problems on Separable and Inseparable Extensions

[Yutaka]

1, If $F\subset L\subset K $ are fields such that K/F is separable, show that L/F and K/L are separable.

2, If K is a field extension of F and if $\alpha \in K $ is not separable over F, show that $\alpha^{p^m} $ is separable over F for some $m\geq 0 $, where p=char(F).

3, Let $F\subset L\subset K $ be fields such that K/L is normal and L/F is purely inseparable. Show that K/F is normal.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lonely]

Nguyên văn bởi Yutaka

1, If $F\subset L\subset K $ are fields such that K/F is separable, show that L/F and K/L are separable.

Làm bài dễ trước vậy, bài khó để các bạn khác. :hornytoro:
Mỗi phần tử thuộc L đều thuộc K và do đó tách được trên F, do vậy L/F tách được. Mỗi phần tử a của K ta có min(F,a) chia hết cho min(L,a) trong L[x], chú ý là min(F,a) tách được do K/F tách được, ta có min(L,a) cũng tách được, suy ra a tách được trên F. Và chúng ta có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Yutaka]

4, Let F be a field of characteristic p>0, and let $a\in F-F^p $. Show that $x^p-a $ is irreducible over F.

5, Let F be a field of characteristic p>0, and let K be a purely inseparable extension of F with $[K:F]=p^n $. Prove that $a^{p^n}\in F\;\;\forall a\in K. $

6, Let K and L be extensions of F. Show that KL is separable over F if both K and L are separable over F. Is the converse true?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lonely]

Nguyên văn bởi Yutaka

6, Let K and L be extensions of F. Show that KL is separable over F if both K and L are separable over F. Is the converse true?

Gọi S là bao đóng tách được của F trong KL, đương nhiên S là một trường con của KL. Vì K và L là tách được trên F nên S chứa cả K và L , vậy nó chứa cả KL. Bởi vậy S=KL , và ta có điều cần chứng minh. Ngược lại chắc là sai nhưng tớ chưa tìm ra ví dụ.

Nguyên văn bởi Yutaka

4, Let F be a field of characteristic p>0, and let $a\in F-F^p $. Show that $x^p-a $ is irreducible over F.

Nếu p=2 thì bài toán là đơn giản, sau đây ta chỉ xét p>2, lúc đó p là số lẻ.
Đa thức đó có duy nhất nghiệm trong trường phân rã K của nó trên F, ta gọi nghiệm này là b, và thu được $x^p-a=(x-b)^p $(*) trong K[x]. Bây giờ giả sử ngược lại rằng nó không bất khả quy trên F, hay $x^p-a=f.g $, với f,g thuộc F[x]. Trong K[x] ta có $f=(x-b)^m,g=(x-b)^n $ , với m và n là bậc của f và g tương ứng. Từ đây suy ra $b^m $ và $b^n $ nằm trong F, do vậy b nằm trong F (vì m và n nguyên tố cùng nhau). Cuối cùng, bởi (*) ta có $a=b^p\in F^p $, mâu thuẫn với giả thiết.

Nguyên văn bởi Yutaka

5, Let F be a field of characteristic p>0, and let K be a purely inseparable extension of F with $[K:F]=p^n $. Prove that $a^{p^n}\in F\;\;\forall a\in K. $

Giả sử a là một phần tử bất kỳ của K, cố định nó. Vì K là purely inseparable extension của F nên $min(F,a)=(x-a)^{p^m} $, suy ra $[F(a):F]=p^m\leq p^n $ và $a^{p^m}\in F $. Do đó $a^{p^n}=(a^{p^m})^{p^{n-m}}\in F $, và bài toán được giải. :hornytoro:

Nguyên văn bởi Yutaka

2, If K is a field extension of F and if $\alpha \in K $ is not separable over F, show that $\alpha^{p^m} $ is separable over F for some $m\geq 0 $, where p=char(F).

Ta có thể viết $min(F,\alpha)=f(x^{p^m}) $, với f nằm trong F[x] , và nó là bất khả quy và tách được trên F. Mà ta có $f=min(F, \alpha^{p^m}) $, suy ra bài toán được giải. :hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]