Bài tập khó cần góp ý

[stefano]

1. Cho a,b,c thuộc N* thỏa mãn a^2+b^2+c^2 chia hết a+b+c. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn n sao cho a^n+b^n+c^n chia hết a+b+c

2. Cho x,y,z thuộc R thỏa x^2+2y^2+5z^2=1. Tìm min,max M=xy+yz+xz

3.Cho a,b,c>0. Chứng minh (a^3+b^3+c^3)^2 < (a^2+b^2+c^2)^3

4.Giả sử x,y lần lượt thỏa mãn các phương trình x^2+2ax+9=0,y^2-2by+9=0. Tìm min f(a,b)=3(x-y)^2 + (1/x-1/y)^2
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi stefano

1. Cho a,b,c thuộc N* thỏa mãn a^2+b^2+c^2 chia hết a+b+c. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn n sao cho a^n+b^n+c^n chia hết a+b+c

2. Cho x,y,z thuộc R thỏa x^2+2y^2+5z^2=1. Tìm min,max M=xy+yz+xz

3.Cho a,b,c>0. Chứng minh (a^3+b^3+c^3)^2 < (a^2+b^2+c^2)^3

4.Giả sử x,y lần lượt thỏa mãn các phương trình x^2+2ax+9=0,y^2-2by+9=0. Tìm min f(a,b)=3(x-y)^2 + (1/x-1/y)^2

Bài 1:
Đặt $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc, S_n =a^n+b^n+c^n$ với mỗi $n\in \mathbb{N}$.
Ta có
$2q \vdots p$ và
\[S_{n+3}=p S_{n+1}-qS_{n+1}-rS_{n}.\]

Nếu $p$ lẻ thì $q \vdots p$ suy ra $qS_{n+1} \vdots p.$
Nếu $p$ lẻ thì $S_{n+1} \vdots 2$ suy ra $qS_{n+1}=2q \frac{S_{n+1}}{2} \vdots p.$

Do đó
\[S_{n+3}\equiv -rS_{n} mod p.\]
Hơn nữa, $S_1, S_2 \vdots p$ nên $S_{3k+1}, S_{3k+2}\vdots p$ với mọi $k\in \mathbb{N}$.
Bài 2: Có thể dùng Cauchy có trọng số để tìm GTLN nhưng cách này tính toán phức tạp đối với mình.
Bài 3: Đây là BĐT đồng bậc. Ta có thể chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=1$.
Từ đó suy ra $a^3<a^2$ (do $a<1$.)
Tương tự $b^3<b^2, c^3<c^2$.
Suy ra ĐPCM.

Bài 4: Điều kiện $a, b$ là gì? Tìm GTNN theo a, b? f có xác định không phụ thuộc vào cách chọn x, y không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[stefano]

điều kiện bài 4 a,b >=3, không nói gì thêm nữa
Em cảm ơn anh đã giúp đỡ, còn bài cuối anh xem thế nào gợi ý giúp, hình như đây là đề của vmf thi đại học
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]