Topic bất đẳng thức Cauchy_Schwarz

[Kratos]

Nguyên văn bởi supermouse

Bài14:
Tìm min,max:$ f(x) = x(1002 + \sqrt {2012 - {x^2}} ) $
Bài15:
Tìm max: $A = \frac{{xy}}{{{x^2} + xy + yz}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + yz + xz}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + xz + xy}}(x;y;z \in {R^ + }) $

Bài15: Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có
$
(x^2+xy+yz)(z^2+xy+yz) \ge (xy+yz+zx)^2 $

do đó $\frac{{xy}}{{{x^2} + xy + yz}} \le \dfrac{xy(z^2+xy+yz)}{(xy+yz+zx)^2} $. Thiết lập các BĐT tương tự ta đi tới $A \le \dfrac{\sum xy(z^2+xy+yz)}{(xy+yz+zx)^2} $. Nhưng vì $\sum xy(z^2+xy+yz) = (xy+yz+zx)^2 $ nên ta suy ra ngay $A \le 1 $. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]