Hệ phương trình

[hsonmonkey]

Giải các hệ phương trình sau:
1, $\left\{ \begin{array}{l}x^3 + 2x^2 y + xy^2 - 9 = 0 \\x(y^3 - x^3 ) = 7 \\\end{array} \right. $
2, $\left\{ \begin{array}{l}x^2 + y^2 = 1 \\ 125y^5 - 125y^3 + 6\sqrt {15} = 0 \\ \end{array} \right. $
3, $\[\left\{ \begin{array}{l}x^5 + xy^4 = y^{10} + y^6 \\ \sqrt {4x + 5} + \sqrt {y^2 + 8} = 6 \\ \end{array}\right. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Gravita]

Nguyên văn bởi hsonmonkey

Giải hệ phương trình sau:
2, $\left\{ \begin{array}{l}x^2 + y^2 = 1 \\ 125y^5 - 125y^3 + 6\sqrt {15} = 0 \\ \end{array} \right. $

Từ pt thứ nhất của hệ ta có ĐK: $\left| x \right| \le 1; \left| y \right| \le 1 $
Phương trình thứ hai tương đương với PT sau:
$5{\left( {y - \frac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)^2}\left( {25{y^3} + 10\sqrt {15} {y^2} + 20y + 2\sqrt {15} } \right) = 0 $ (Bạn có thể đoán được hai nghiệm $y = \frac{{\sqrt {15} }}{5} $ và đưa về được như vậy).
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\;(tmdk) \\
25{y^3} + 10\sqrt {15} {y^2} + 20y + 2\sqrt {15} = 0 \\
\end{array} \right. $
Đặt $f(y) = 25{y^3} + 10\sqrt {15} {y^2} + 20y + 2\sqrt {15} = 0 $ ta có $f(y) $ đồng biến( dùng đạo hàm) và $f( - 1)f(1) > 0 $ nên $f(y)=0 $ vô nghiệm trên $[-1;1] $
Vậy hệ có hai nghiệm $\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{5};\frac{{\sqrt {15} }}{5}} \right),\;\left( { - \frac{{\sqrt {10} }}{5};\frac{{\sqrt {15} }}{5}} \right) $

Nguyên văn bởi hsonmonkey

Giải hệ phương trình sau:
3, $\[\left\{ \begin{array}{l}x^5 + xy^4 = y^{10} + y^6 \\ \sqrt {4x + 5} + \sqrt {y^2 + 8} = 6 \\ \end{array}\right. $

Ta có : $\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^5} + x{y^4} = {y^{10}} + {y^6}} \\ {\sqrt {4x + 5} + \sqrt {{y^2} + 8} = 6} \\ \end{array} } \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}x({x^4} + {y^4}) = {y^{10}} + {y^6}\quad (1) \hfill \\ \sqrt {4x + 5} + \sqrt {{y^2} + 8} = 6\;\;\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $
+ Từ $\[(1) \Rightarrow x > 0\] $
+ Đặt $\[t = {y^2}>0\] $ (do $y^2=0 $ không là nghiệm) khi đó (1) trở thành:
$\[\begin{gathered}{x^5} - {t^5} + x{t^2} - {t^3} = 0 \Leftrightarrow (x - t)\left[ {({x^4} + {x^3}t + {x^2}{t^2} + x{t^3} + {t^4}) + {t^2}} \right.] \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = t \hfill \\({x^4} + {x^3}t + {x^2}{t^2} + x{t^3} + {t^4}) + {t^2} = 0\;(VN\;do\;x > 0,t > 0) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \] $
Đến đây thì Ok rùi!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[maxmin]

Nguyên văn bởi hsonmonkey

Giải các hệ phương trình sau:

3, $\[\left\{ \begin{array}{l}x^5 + xy^4 = y^{10} + y^6 \\ \sqrt {4x + 5} + \sqrt {y^2 + 8} = 6 \\ \end{array}\right. $

Xét $\[y = 0\] $
Xét $\[y \ne 0\] $
Từ phương trình thứ nhất ta có :
$\[{\left( {\frac{x}{y}} \right)^5} + \frac{x}{y} = {y^5} + y\] $
Xét $\[\begin{array}{l}
f\left( t \right) = {t^5} + t \\
f'\left( t \right) = 5{t^4} + 1 > 0\left( {\forall t \in } \right) \\
\end{array}\] $
Vậy, ta có: $\[x = {y^2}\] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]