|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
12-01-2013, 02:12 PM | #16 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2012 Bài gởi: 86 Thanks: 226 Thanked 60 Times in 27 Posts | Lời giải: Cho $x\neq 0$, $y=0$ ta được: $$x.f\left ( f^{2}\left ( x \right ) \right )=f^{3}\left ( x \right )\\ \Rightarrow f\left ( f^{2}\left ( x \right ) \right )=\frac{f^{3}\left ( x \right )}{x} \ \ \forall x\neq 0$$ Thay vào phương trình ban đầu ta được: $$\left ( x-y \right )\left [ \frac{f^{3}\left ( x \right )}{x}-\frac{f^{3}\left ( y \right )}{y} \right ]=\left ( f\left ( x \right )-f\left ( y \right ) \right )\left ( f^{2}\left ( x \right )-f^{2}\left ( y \right ) \right ) \ \ \forall x,y\neq 0 \ \ \left ( * \right )$$ Cho $x<0$, $y=1$ vào $\left ( * \right )$ ta được: $$\left ( x-1 \right )\left [ \frac{f^{3}\left ( x \right )}{x}-2013^{3} \right ]=\left ( f\left ( x \right )-2013 \right )\left ( f^{2}x-2013^{2} \right )\\ \Leftrightarrow \left ( f\left ( x \right )-2013x \right )\left ( f^{2}x-2013^{2}x \right )=0$$ Mặt khác với $x<0$ thì $f^{2}\left ( x \right )=2013^{2}x$ nên $f\left ( x \right )=2013x \ \ \forall x<0$ do đó $f\left ( -1 \right )=-2013$. Cho $x>0$, $y=-1$ vào $\left ( * \right )$ ta được: $$\left ( x+1 \right )\left [ \frac{f^{3}\left ( x \right )}{x}+2013^{3} \right ]=\left ( f\left ( x \right )+2013 \right )\left ( f^{2}\left ( x \right )-2013^{2} \right )\\ \Leftrightarrow \left ( f\left ( x \right )-2013x \right )\left ( f^{2}\left ( x \right )+2013^{2}x \right )=0\\ \Leftrightarrow f\left ( x \right )=2013x$$ Thử lại thấy đúng. Vậy $f\left ( x \right )=2013x$. $\blacksquare$ ==================== __________________ LSTN, tạm biệt nhé...! |
12-01-2013, 02:31 PM | #17 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Bài này cho $y=0 $ thu được $f(f^2(x))=\frac{f^3(x)}{x} $ với mọi $x \ne 0 $. Thế vào phương trình thu gọn được $[xf(y)-yf(x)][xf^2(y)-yf^2(x)]=0 $ với mọi $x, y \ne 0 $. Cho $y=1 $ được $(f(x)-2013x)(f^2(x)-2013^2x)=0 $ với mọi $x \ne 0. $ Suy ra $f(x)=2013x, x \le 0 $ Cho $y=-1 $ được $f(x)=2013x, x \ge 0 $ Mặt khác dễ thấy nếu $f(x)=f(y) $ thì $x=y. $ Vậy $f(x)=2013x, x \in R $. Thử lại thấy thỏa mãn. thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 12-01-2013 lúc 02:43 PM |
The Following User Says Thank You to thaygiaocht For This Useful Post: | bb.boy_lion (12-01-2013) |
12-01-2013, 02:34 PM | #18 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Trích:
__________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. | |
12-01-2013, 02:39 PM | #19 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Đến từ: CLA Bài gởi: 538 Thanks: 183 Thanked 136 Times in 63 Posts | Mình thì ra được cái phương trình bậc 3 theo $f(x)$ __________________ Sẽ không quên nỗi đau này..! |
12-01-2013, 03:05 PM | #20 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Những bài thử lại thỏa mãn mà không thế vào thử thì sẽ bị trừ điểm nhé __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. |
12-01-2013, 03:08 PM | #21 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: Vô cực Bài gởi: 267 Thanks: 358 Thanked 48 Times in 32 Posts | Chưa thử lại được thì trừ mấy điểm hả bạn? |
12-01-2013, 04:00 PM | #22 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 127 Thanks: 87 Thanked 35 Times in 22 Posts | làm lại dùm mình đoạn đó đi __________________ Lê Minh Phúc-12A1 THPT Đạ Hoai VMO 2014- Đợi mình nhé |
12-01-2013, 04:06 PM | #23 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 126 Thanks: 98 Thanked 31 Times in 22 Posts | Tưởng cái tích mà có $f^2(x) $ ấy nó không thỏa mãn đề bài nên loại luôn chứ? Trường hợp có 2 nghiệm hàm mới phải chứng minh không có hàm khác chứ? |
12-01-2013, 05:47 PM | #24 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2013 Bài gởi: 3 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Có cm đc f(x) là toàn ánh ko ạh? |
12-01-2013, 06:28 PM | #25 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Đến từ: CLA Bài gởi: 538 Thanks: 183 Thanked 136 Times in 63 Posts | __________________ Sẽ không quên nỗi đau này..! |
12-01-2013, 08:41 PM | #26 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 280 Thanks: 29 Thanked 361 Times in 123 Posts | Cái hay và hơi vướng của bài toán này với nhiều bạn học sinh chính là khi đã có $$\left[ \begin{array}{l} f(x) = 2013x{\rm{ }}(1)\\ {f^2}(x) = {2013^2}x{\rm{ }}(2) \end{array} \right.$ $ với mọi x khác 0 thì xử lí tiếp thế nào. Có thể xử lí theo hướng như sau: Từ trên suy ra $$f(x) = 2013x{\rm{ }}\forall x < 0$ $ (3) Ta có ngay f(-1)=-2013. Cho y=-1 ta lại được nhân tử: $$\left[ {f(x) - 2013x} \right]\left[ {{f^2}(x) + {{2013}^2}x} \right] = 0 \Rightarrow f(x) = 2013x{\rm{ }}\forall x > 0{\rm{ }}(4)$ $. Từ (3), (4) và f(0)=0 suy ra $$f(x) = 2013x{\rm{ }}\forall x \in R $ $ Vậy chỉ có một hàm cần tìm là $$f(x) = 2013x$ $ thay đổi nội dung bởi: DaiToan, 12-01-2013 lúc 08:45 PM |
The Following 4 Users Say Thank You to DaiToan For This Useful Post: | bb.boy_lion (12-01-2013), bboy114crew (12-01-2013), nliem1995 (12-01-2013), thaygiaocht (12-01-2013) |
12-01-2013, 10:30 PM | #27 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Bài gởi: 27 Thanks: 87 Thanked 68 Times in 14 Posts | Bài PTH đại số này hay đấy. Chắc mấy thằng đội tuyển 10 của mình làm được |
13-01-2013, 12:04 AM | #28 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 303 Thanks: 129 Thanked 130 Times in 81 Posts | Cách mình khá là trâu nhưng hướng giải cũng như mấy bạn trên Thay $y=0 $ thì được $f(f^{2}(x))=\frac{f^{3}(x)}{x} $ Thế vào cái đầu và thay $y=1 $ thì được $\frac{1}{x}f^{3}(x)-2013f^{2}(x)-2013^{2}f(x)+x.2013^{3} =0 $ Do may mắn dự đoán đúng $f(x)=2013x $ nên phân tích nhân tử về $(f(x)-2013x)(\frac{1}{x}f^{2}(x)-2013^{2})=0 $ Xong chứng minh không tồn tại cái kia bằng phép thế,... __________________ |
13-01-2013, 11:05 AM | #29 |
+Thành Viên+ | Nếu xét TH thì hình như còn TH mà f(x)=2013x tại vài x và f(x)=-2013x tại vài số còn lại __________________ Làm người có thể xa xỉ nhưng không nên lãng phí ! |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|