Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2013

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-01-2013, 08:36 PM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,980
Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts
[VMO 2013] Bài 3 - Hình học


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 11-01-2013 lúc 11:53 AM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
kimlinh (11-01-2013), liverpool29 (11-01-2013), nqt (11-01-2013), Trànvănđức (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 11:39 AM   #2
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sẽ không quên nỗi đau này..!
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 11 Users Say Thank You to High high For This Useful Post:
minhcanh2095 (11-01-2013), mrcool (11-01-2013), n.v.thanh (11-01-2013), nliem1995 (11-01-2013), thaygiaocht (11-01-2013), thinhso01 (11-01-2013), tienanh_tx (11-01-2013), TNP (11-01-2013), Trànvănđức (11-01-2013), triethuynhmath (11-01-2013), trungthu10t (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 11:55 AM   #3
triethuynhmath
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG TPHCM
Bài gởi: 42
Thanks: 77
Thanked 34 Times in 23 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi High high View Post
Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định
Câu a) Dễ nhỉ.Các tứ giác $LFED,EKDF$ là hình thang cân nên: $DL=EF=KD$.Vậy $DI$ là trung trực $KL$ hay $D,I,J$ thẳng hàng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
triethuynhmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to triethuynhmath For This Useful Post:
n.v.thanh (11-01-2013), TKT (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 12:17 PM   #4
TNP
+Thành Viên+
 
TNP's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: PTNK TPHCM
Bài gởi: 180
Thanks: 487
Thanked 106 Times in 67 Posts
Câu a)Kéo FL cắt AC, BC tại S, R, EK cắt AB, BC tại P, Q, EK, cắt FL tại T. Ta sẽ chứng minh TEFD là hình bình hành:
DE vuông góc với CI, FL vuông góc với CI, suy ra DE song song với FT, tương tự, ta có FD song song với ET.
Từ đó suy ra $\widehat{FDE}=\widehat{FET}(1)$
Mặt khác, ta có $\widehat{FDE}=\widehat{PFE}(2)$.
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{TFE}=\widehat{FPE}(3)$
Mà P, Q đối xứng với nhau qua BI, vậy nên $\widehat{FPE}=\widehat{BQK}(4)$
Hơn nữa, ta lại có, $\widehat{EKL}=\widehat{TFE}$
Từ (3), (4), (5) suy ra KL song song BC, từ đó có dc dpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Believe in yourself $\Leftrightarrow$ Believe in miracles
TNP is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to TNP For This Useful Post:
n.v.thanh (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 12:22 PM   #5
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
B,Giả sử AC>AB
Theo một kết quả đã biết thì suy ra được IPQ và ICB là 2 tam giác đồng dạng.
$\frac{IQ}{IB} $ bằng tỉ số đồng dạng của 2 tam giác, tức là bằng tỉ số đường cao tương ứng từ I tới PQ và I tới BC.
Chú ý là I cách đều MN, EF nên suy ra được $\frac{IQ}{IB}=\frac{IU}{r}=Sin\frac{A}{2} $ Với U là giao của IA và EF
Trung trực PQ cắt IB tại Z, BC tại T
AI cắt BC tại V thì dễ thấy V cố định, ta chứng minh $\frac{IZ}{IB} $ không đổi là xong.
Ta có $ \frac{IZ}{IQ}= \frac{sinIQZ}{sinIZQ}= \frac{sin(\frac{B-C}{2})} {sinC} $
Do vậy $\frac{IZ}{IB}=\frac{Sin\frac{A}{2}sin(\frac{B-C}{2})}{sinC}=\frac{cos\frac{B+C}{2}sin\frac{B-C}{2}}{sinC}=\frac{sinB-sinC}{2sinC} $ không đổi, suy ra đpcm.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu

thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 11-01-2013 lúc 12:24 PM
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 8 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
High high (11-01-2013), hungvu (12-01-2013), huynhcongbang (11-01-2013), minhcanh2095 (11-01-2013), n.v.thanh (11-01-2013), ntuan5 (12-01-2013), TNP (11-01-2013), triethuynhmath (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 12:28 PM   #6
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,980
Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kien10a1 View Post
B,Giả sử AC>AB
Theo một kết quả đã biết thì suy ra được IPQ và ICB là 2 tam giác đồng dạng.
$\frac{IQ}{IB} $ bằng tỉ số đồng dạng của 2 tam giác, tức là bằng tỉ số đường cao tương ứng từ I tới PQ và I tới BC.
Chú ý là I cách đều MN, EF nên suy ra được $\frac{IQ}{IB}=\frac{IU}{r}=Sin\frac{A}{2} $ Với U là giao của IA và EF
Trung trực PQ cắt IB tại Z, BC tại T
AI cắt BC tại V thì dễ thấy V cố định, ta chứng minh $\frac{IZ}{IB} $ không đổi là xong.
Ta có $ \frac{IZ}{IQ}= \frac{sinIQZ}{sinIZQ}= \frac{sin(\frac{B-C}{2})} {sinC} $
Do vậy $\frac{IZ}{IB}=\frac{Sin\frac{A}{2}sin(\frac{B-C}{2})}{sinC}=\frac{cos\frac{B+C}{2}sin\frac{B-C}{2}}{sinC}=\frac{sinB-sinC}{2sinC} $ không đổi, suy ra đpcm.
11h02 =((
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
cuongpbc (12-01-2013), triethuynhmath (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 12:31 PM   #7
ntuan5
+Thành Viên+
 
ntuan5's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 155
Thanks: 130
Thanked 38 Times in 24 Posts
Không biết câu b/ có hướng sử dụng apollonius không nhỉ, đâm đầu từ nãy h mà chưa ra.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ntuan5 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ntuan5 For This Useful Post:
triethuynhmath (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 12:33 PM   #8
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kien10a1 View Post
B,Giả sử AC>AB
Theo một kết quả đã biết thì suy ra được IPQ và ICB là 2 tam giác đồng dạng.
$\frac{IQ}{IB} $ bằng tỉ số đồng dạng của 2 tam giác, tức là bằng tỉ số đường cao tương ứng từ I tới PQ và I tới BC.
Chú ý là I cách đều MN, EF nên suy ra được $\frac{IQ}{IB}=\frac{IU}{r}=Sin\frac{A}{2} $ Với U là giao của IA và EF
Trung trực PQ cắt IB tại Z, BC tại T
AI cắt BC tại V thì dễ thấy V cố định, ta chứng minh $\frac{IZ}{IB} $ không đổi là xong.
Ta có $ \frac{IZ}{IQ}= \frac{sinIQZ}{sinIZQ}= \frac{sin(\frac{B-C}{2})} {sinC} $
Do vậy $\frac{IZ}{IB}=\frac{Sin\frac{A}{2}sin(\frac{B-C}{2})}{sinC}=\frac{cos\frac{B+C}{2}sin\frac{B-C}{2}}{sinC}=\frac{sinB-sinC}{2sinC} $ không đổi, suy ra đpcm.
Tiếc thế!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sẽ không quên nỗi đau này..!
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2013, 12:33 PM   #9
BlaMaster
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 5
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Bạn Kiên ơi, vậy điểm cố định là Z hả, I không cố định mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
BlaMaster is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2013, 12:39 PM   #10
quangvinht2
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Bài gởi: 18
Thanks: 9
Thanked 25 Times in 8 Posts
Cau a. E va K doi xung qua IB nen DK=EF. Tuong tu DL=EF suy ra ID la trung truc LK.
Cau b. AI cat BC tai J co dinh (diem chia trong theo ti le k). Goi P',Q' la giao cua IB va IC voi EF. De chung minh duoc P', Q' nam tren duong tron duong kinh BC nen trung truc cua P'Q' la duong thang song song voi AI va di qua trung diem H cua BC. Den day suy ra trung truc cua PQ di qua diem Doi xung cua H qua J la diem co dinh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
quangvinht2 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to quangvinht2 For This Useful Post:
huynhcongbang (11-01-2013), kien10a1 (11-01-2013), n.v.thanh (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 12:42 PM   #11
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Trích:
Nguyên văn bởi BlaMaster View Post
Bạn Kiên ơi, vậy điểm cố định là Z hả, I không cố định mà
Từ $\frac{IZ}{IB} $ không đổi thì suy ra $\frac{VT}{VB} $ không đổi.
V và B cố định nên có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
triethuynhmath (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 01:31 PM   #12
minhcanh2095
+Thành Viên+
 
minhcanh2095's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Đến từ: Trường ĐH CNTT - ĐHQG TPHCM
Bài gởi: 574
Thanks: 437
Thanked 256 Times in 159 Posts

Trích:
Nguyên văn bởi kien10a1 View Post
B,Giả sử AC>AB
Theo một kết quả đã biết thì suy ra được IPQ và ICB là 2 tam giác đồng dạng.
$\frac{IQ}{IB} $ bằng tỉ số đồng dạng của 2 tam giác, tức là bằng tỉ số đường cao tương ứng từ I tới PQ và I tới BC.
Chú ý là I cách đều MN, EF nên suy ra được $\frac{IQ}{IB}=\frac{IU}{r}=Sin\frac{A}{2} $ Với U là giao của IA và EF
Trung trực PQ cắt IB tại Z, BC tại T
AI cắt BC tại V thì dễ thấy V cố định, ta chứng minh $\frac{IZ}{IB} $ không đổi là xong.
Ta có $ \frac{IZ}{IQ}= \frac{sinIQZ}{sinIZQ}= \frac{sin(\frac{B-C}{2})} {sinC} $
Do vậy $\frac{IZ}{IB}=\frac{Sin\frac{A}{2}sin(\frac{B-C}{2})}{sinC}=\frac{cos\frac{B+C}{2}sin\frac{B-C}{2}}{sinC}=\frac{sinB-sinC}{2sinC} $ không đổi, suy ra đpcm.
Gửi mọi người cái hình, theo lời giải của anh kien10a1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Gác kiếm

thay đổi nội dung bởi: minhcanh2095, 11-01-2013 lúc 01:33 PM
minhcanh2095 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to minhcanh2095 For This Useful Post:
tangchauphong (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 01:47 PM   #13
liverpool29
+Thành Viên+
 
liverpool29's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: hue
Bài gởi: 348
Thanks: 425
Thanked 560 Times in 237 Posts
Câu b có thể phát biểu là đơn giản hơn là:
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. $T$ là trung điểm $BC$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $T$ qua chân đường phân giác kẻ từ $A$. Chứng minh rằng $K$ thuộc trung trực $PQ$.


Gọi $X,Y$ lần lượt là giao của $BI,CI$ với $EF$. Ta có $X,Y,B,C$ cùng thuộc một đường tròn. Suy ra $T$ thuộc trung trực $XY$. Chú ý rằng $EFMN$ là hình chữ nhật, nên từ đây ta có $K$ thuộc trung trực $PQ$.
Chứng mình hoàn tất.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LIFE HAS SENT TO US A MIRACLE, IT'S GEOMETRY

"Don't try your best. Do your best."

thay đổi nội dung bởi: liverpool29, 11-01-2013 lúc 01:53 PM
liverpool29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to liverpool29 For This Useful Post:
tangchauphong (11-01-2013), TNP (11-01-2013), Trànvănđức (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 02:16 PM   #14
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 165
Thanks: 793
Thanked 216 Times in 93 Posts
Câu a) Nhận thấy $f: L \to K $ là tích của ba phép đối xứng, từ đó $DK=DL $ suy ra đpcm.
Câu b) Gọi $P', Q' $ là điểm đối xứng của $P, Q $ qua $I. $ Khi đó $PQP'Q' $ là hình bình hành. Theo câu hình vòng 1 VMO 2009 thì tứ giác $P'Q'D'M $ nội tiếp (D' là chân đường phân giác từ A, M là trung điểm của BC). Do $MP'=MQ'=\frac{BC}{2} $ nên đường trung trực của $P'Q' $ đi qua $M $ cố định. Điểm cố định cần tìm đối xứng với $M $ qua $D'. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 11-01-2013 lúc 02:37 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
bboy114crew (11-01-2013), boymetoan90 (11-01-2013), hongson_vip (12-01-2013), huynhcongbang (11-01-2013), nghiepdu-socap (13-01-2013), quoc_hocpro (12-01-2013), triethuynhmath (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 02:55 PM   #15
TNP
+Thành Viên+
 
TNP's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: PTNK TPHCM
Bài gởi: 180
Thanks: 487
Thanked 106 Times in 67 Posts
Vậy cái điều kiện $\frac{AB}{AC}=k$ là tung hoả mù à , nãy giờ cứ bị cuốn vào đấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Believe in yourself $\Leftrightarrow$ Believe in miracles
TNP is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to TNP For This Useful Post:
boymetoan90 (11-01-2013), ntuan5 (12-01-2013), triethuynhmath (11-01-2013)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:31 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 109.53 k/125.96 k (13.04%)]