Bài toán con nhím

kthptdc4 · 16-02-2009, 04:50 PM

thử sức cùng bài toán con nhím

thanhtra_dhsp · 28-02-2009, 05:13 PM

1. Cho tam giác $ABC $. Dựng ra ngoài các tam giác $BMC, CNA, APB $ đồng dạng và cân tại $M, N, P $. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC, MNP $ chung trọng tâm.

2. Cho lục giác $ABCDEF $ nội tiếp $(O) $ thỏa mãn $AB=CD=EF $ . Về phía ngoài lục giác dựng các tam giác $AMB, BNC, CPD, DQE, ERF, FSA $ đồng dạng và cân tại $M, N, P, Q, R, S $. $O_1, O_2 $ là trọng tâm tam giác $MPR $ và $NQS $. Chứng minh rằng $O_1, O_2, O $ thẳng hàng

nbkschool · 28-02-2009, 10:09 PM

1.
$(\vec{CA},\vec{CN})=(\vec{AB},\vec{AP})=(\vec{BC}, \vec{BM})=\alpha $
$\frac{CN}{CA}=\frac{AP}{AB}=\frac{BM}{BC}=k $
Xét phép quay vectơ góc $\alpha $
$k.\vec{CA} \rightarrow \vec{CN} $
$k.\vec{AB} \rightarrow \vec{AP} $
$k.\vec{BC} \rightarrow \vec{BM} $
->$\vec{CN}+\vec{AP}+\vec{BM}=\vec{0} $
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC,ta có:
$\vec{AG}+\vec{GP}+\vec{BG}+\vec{GM}+\vec{CG}+\vec{ GN}=\vec{0} $
->$\vec{MG}+\vec{NG}+\vec{PG}=\vec{0} $
->G cũng là trọng tâm của tam giác MNP.
Suy ra đpcm.

kthptdc4 · 03-03-2009, 07:05 PM

không ai xem bài toán con nhím à

tungbeo110 · 10-03-2009, 08:54 PM

Bài này hay đấy, tối nay tôi sẽ về nghĩ xem nó hay không?
Nhìn mấy cách giải trên của các bạn tôi thấy không tự nhiên lắm

thanhtra_dhsp · 20-09-2009, 05:07 PM

Chứng minh khác của định lí con nhím (nói chung là đầu năm lớp 10 hiểu được)

Ta chứng minh trong trường hợp tam giác, $n- $giác chứng minh tương tự.

Gọi $M, N $ là hai điểm bất kì nằm trong tam giác, $A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2 $ là hình chiếu của $M, N $ trên $BC, CA, AB $. Ta có:
$2S_{ABC} $
$=BC\cdot MA_1+CA\cdot MB_1+AB\cdot MC_1 $
$=\sum BC\cdot\frac{MA_1\cdot NA_2}{NA_2} $
$=\sum BC\cdot\frac{\vec{MA_1}\cdot \vec{NA_2}}{NA_2} $
$=\sum BC\cdot\frac{(\vec{MN}+\vec{NA_1})\cdot \vec{NA_2}}{NA_2} $
$=\vec{MN}\cdot \sum BC\cdot\frac{\vec{NA_2}}{NA_2}+\sum BC\cdot NA_2 $
$=\vec{MN}\cdot \sum BC\cdot\frac{\vec{NA_2}}{NA_2}+2S_{ABC} $

Như vậy $\vec{MN}\cdot \sum BC\cdot\frac{\vec{NA_2}}{NA_2} = 0 $ với mọi điểm $M, N $. Từ đó $\sum BC\cdot\frac{NA_2}{NA_2} = \vec{0} $

TLT's Hypothesis

**Highschoolmath** · 21-09-2009, 10:35 AM

Hoặc một cách chứng minh khác đó là ta định nghĩa F là phép xoay vector,ta chứng minh:$F(\vec{a}+\vec{b})=F(\vec{a})+F(\vec{b}) $(cái này cứ vẽ hình ra rồi xét hai tam giác bằng nhau khá dễ)
Như vậy bài toán con nhím chỉ là hệ quả của phép xoay vector

thanhtra_dhsp · 21-09-2009, 06:03 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Highschoolmath

Hoặc một cách chứng minh khác đó là ta định nghĩa F là phép xoay vector,ta chứng minh:$F(\vec{a}+\vec{b})=F(\vec{a})+F(\vec{b}) $(cái này cứ vẽ hình ra rồi xét hai tam giác bằng nhau khá dễ)
Như vậy bài toán con nhím chỉ là hệ quả của phép xoay vector

Ngộ à, đã bảo là đầu năm lớp 10 hiểu được mà. Ít nhất thì trong sách dùng quy nạp.

bokinhvan3 · 21-09-2009, 09:24 PM

sax
em vừa vào lớp 10 đã học cái này rồi
chẳng hiểu gì cả
có anh nào thiện cảm giúp em cái
cho em xin ít tài liệu cũ hồi lớp 10 của các anh được ko
tiện cho em nick chát hoặc add nick em nhé

28-02-2009, 10:09 PM	#3
nbkschool +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Đến từ: SMU Residence @Prinsep Hostel, 83 Prinsep Street, Singapore Bài gởi: 400 Thanks: 72 Thanked 223 Times in 106 Posts	1. $(\vec{CA},\vec{CN})=(\vec{AB},\vec{AP})=(\vec{BC}, \vec{BM})=\alpha $ $\frac{CN}{CA}=\frac{AP}{AB}=\frac{BM}{BC}=k $ Xét phép quay vectơ góc $\alpha $ $k.\vec{CA} \rightarrow \vec{CN} $ $k.\vec{AB} \rightarrow \vec{AP} $ $k.\vec{BC} \rightarrow \vec{BM} $ ->$\vec{CN}+\vec{AP}+\vec{BM}=\vec{0} $ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC,ta có: $\vec{AG}+\vec{GP}+\vec{BG}+\vec{GM}+\vec{CG}+\vec{ GN}=\vec{0} $ ->$\vec{MG}+\vec{NG}+\vec{PG}=\vec{0} $ ->G cũng là trọng tâm của tam giác MNP. Suy ra đpcm. __________________ "Apres moi,le deluge" thay đổi nội dung bởi: nbkschool, 28-02-2009 lúc 10:12 PM

10-03-2009, 08:54 PM	#5
tungbeo110 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tuyên Quang Bài gởi: 7 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài này hay đấy, tối nay tôi sẽ về nghĩ xem nó hay không? Nhìn mấy cách giải trên của các bạn tôi thấy không tự nhiên lắm __________________ Chào mừng bạn đến với diễn đàn http://chuyentq.com

20-09-2009, 05:07 PM	#6
thanhtra_dhsp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: Nazi Germany Bài gởi: 102 Thanks: 11 Thanked 122 Times in 28 Posts	Chán đời thì post bài Chứng minh khác của định lí con nhím (nói chung là đầu năm lớp 10 hiểu được) Ta chứng minh trong trường hợp tam giác, $n- $giác chứng minh tương tự. Gọi $M, N $ là hai điểm bất kì nằm trong tam giác, $A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2 $ là hình chiếu của $M, N $ trên $BC, CA, AB $. Ta có: $2S_{ABC} $ $=BC\cdot MA_1+CA\cdot MB_1+AB\cdot MC_1 $ $=\sum BC\cdot\frac{MA_1\cdot NA_2}{NA_2} $ $=\sum BC\cdot\frac{\vec{MA_1}\cdot \vec{NA_2}}{NA_2} $ $=\sum BC\cdot\frac{(\vec{MN}+\vec{NA_1})\cdot \vec{NA_2}}{NA_2} $ $=\vec{MN}\cdot \sum BC\cdot\frac{\vec{NA_2}}{NA_2}+\sum BC\cdot NA_2 $ $=\vec{MN}\cdot \sum BC\cdot\frac{\vec{NA_2}}{NA_2}+2S_{ABC} $ Như vậy $\vec{MN}\cdot \sum BC\cdot\frac{\vec{NA_2}}{NA_2} = 0 $ với mọi điểm $M, N $. Từ đó $\sum BC\cdot\frac{NA_2}{NA_2} = \vec{0} $ TLT's Hypothesis __________________ TLT's Hypothesis

21-09-2009, 10:35 AM	#7
Highschoolmath Moderator Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần Bài gởi: 698 Thanks: 247 Thanked 350 Times in 224 Posts	Hoặc một cách chứng minh khác đó là ta định nghĩa F là phép xoay vector,ta chứng minh:$F(\vec{a}+\vec{b})=F(\vec{a})+F(\vec{b}) $(cái này cứ vẽ hình ra rồi xét hai tam giác bằng nhau khá dễ) Như vậy bài toán con nhím chỉ là hệ quả của phép xoay vector __________________ As long as I live, I shall think only of the Victory......................

28-02-2009, 05:13 PM	#2
thanhtra_dhsp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: Nazi Germany Bài gởi: 102 Thanks: 11 Thanked 122 Times in 28 Posts	1. Cho tam giác $ABC $. Dựng ra ngoài các tam giác $BMC, CNA, APB $ đồng dạng và cân tại $M, N, P $. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC, MNP $ chung trọng tâm. 2. Cho lục giác $ABCDEF $ nội tiếp $(O) $ thỏa mãn $AB=CD=EF $ . Về phía ngoài lục giác dựng các tam giác $AMB, BNC, CPD, DQE, ERF, FSA $ đồng dạng và cân tại $M, N, P, Q, R, S $. $O_1, O_2 $ là trọng tâm tam giác $MPR $ và $NQS $. Chứng minh rằng $O_1, O_2, O $ thẳng hàng

03-03-2009, 07:05 PM	#4
kthptdc4 Banned Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 99 Thanks: 41 Thanked 71 Times in 27 Posts	không ai xem bài toán con nhím à