Các bất đẳng thức về đường trung tuyến

[Minh Tuấn]

Bài 9 và bài 10 thay giả thiết n thuôc N thành $n \geq 1 $. Như vậy thì bài sẽ khó hơn một chút.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Ơ ,có bài sau quen quen hay hay mà không thấy ai giới thiệu nhỉ

Bài 38: $\sum m_a\cos \frac{A}{2} \geq \frac{3p}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[B_bnguyen]

Em xin góp thêm một bài về đường trung tuyến (nguồn THTT 2006)
Bài 39:Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi $m_a, m_b, m_c $ lần lượt là các trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C
Chứng minh rằng :
$\frac{IA^2}{{m_a}^{2}}+\frac{IB^2}{{m_b}^{2}}+ $$\frac{IC^2}{{m_c}^{2}} $$\leq\frac{4}{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi B_bnguyen

Em xin góp thêm một bài về đường trung tuyến (nguồn THTT 2006)
Bài 39:Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi $m_a, m_b, m_c $ lần lượt là các trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C
Chứng minh rằng :
$\frac{IA^2}{{m_a}^{2}}+\frac{IB^2}{{m_b}^{2}}+ $$\frac{IC^2}{{m_c}^{2}} $$\leq\frac{4}{3} $

Mình thấy cái bài này không "thuần" trung tuyến lắm(nhưng vẫn liên quan )

Mình xin đưa thêm 1 BDT trong 1 lớp tam giác đặc biệt:

Bài 40Với R=1.CMR:

$\sum { \frac{\sin{A}}{m_a}} \geq \sqrt{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

Nguyên văn bởi Minh Tuấn

Bài 1: CMR: $m_a $+$m_b $+$m_c $ $\leq $$\frac{9R}{2} $
Bài 2: CMR: $m_a $+$m_b $+$m_c $ $\leq $ 4R+r
Bài 3: CMR: $m_a $+$m_b $+$m_c $ $\geq $$\frac{a^2+b^2+c^2}{2R} $
Bài 4: CMR: $\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b}+\frac{1}{m_c}\geq \frac{2}{R} $
Bài 5: CMR: $m_am_bm_c\leq \frac{27R^3}{8} $

Bắt đầu giải bài thôi:hornytoro:
Bài 1Bổ đề: $a^2+b^2+c^2\leq 9R^2 $. Xem lời giải tại [Only registered and activated users can see links. ]
lại có$ m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2) $và $m_a^2+m_b^2+m_c^2 \geq \frac{1}{3}(m_a+m_b+m_c)^2 $
Từ đó suy ra đpcm.
Bài 2Dễ chứng minh:$ m_a\leq R(1+cosA) $Từ đó suy ra:$m_a+m_b+m_c\leq R(3+cosA+cosB+cosC) $Lại có: $cosA+cosB+cosC=1+\frac{r}{R} $ Suy ra đpcm.
Bài 3Ta sẽ chứng minh: $m_a\geq \frac{b^2+c^2}{4R}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow (b cosB-c cosC)^2\geq0 $, đúng.
Tương tự với $m_b, m_c $ rồi cộng từng vế ta được đpcm.
Bài 4Ta có: $\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b}+\frac{1}{m_c}\geq \frac{9}{m_a+m_b+m_c}\geq \frac{9}{\frac{9R}{2}}=\frac{2}{R} $ (đpcm)
Bài 5Ta có: $m_am_bm_c\leq (\frac{m_a+m_b+m_c}{3})^3\leq \frac{27R^3}{8} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Một đánh giá khác của Phan Thành Việt cho tổng 3 tt :

Bài 41: $m_a+m_b+m_c \leq \sqrt{3p^2+ \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}} $

Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là Bài 32 và bài này thì bài nào chặt hơn??
Giải quyết nhé :hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ZinZin]

Ui không biết Topic này, hôm trước mình gửi mấy bài mà không ai bàn luận gì thêm:
[Only registered and activated users can see links. ]

Phần này nên chia thành từng lớp các bài toán có cùng đặc điểm và có cách giải chung cho lớp các bài đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

Topic vừa bổ sung thêm một số bài của bạn ZinZin bên topic [Only registered and activated users can see links. ]
Bài 40:CMR:$\frac{m_a^2}{h_a}+\frac{m_b^2}{h_b}+\frac{m_c^2}{h _c}\ge\frac{9}{2}R $(ZinZin post)

Bài 41:CMR: $\frac{m_a^2}{a}+\frac{m_b^2}{b}+\frac{m_c^2}{c}\ge \frac{9}{4}(\frac{a^3+b^3+c^3}{ab+bc+ca}) $(ZinZin post)

Bài 42:CMR:$m_abc+m_bca+m_cab \le\sqrt{\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4) $(ZinZin post)

Bài 43:CMR:$\frac{m_a^2}{a}+\frac{m_b^2}{b}+\frac{m_c^2}{c}\le \frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{3} $(ZinZin post)

Bài 44:CMR:$m_a+m_b+m_c\le\frac{a+b+c}{2}\sqrt{\frac{a^3+b^3+c ^3}{abc} $(ZinZin post)

Bài 45:CMR:$am_a+bm_b+cm_c \le\frac{3}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} $(ZinZin post)
Chân thành cảm ơn bạn!!
Nhưng BĐT của các bạn khác chưa kịp post lên đầu topic sẽ post sau.
Mọi người cùng vào giải đi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi doccocaubai88

Bài 32 đó , hồi trước trên MnF , anh Tuấn Anh và anh Mitt C.m chỉ với .... 4-5 dòng gì đó , tiếc là MnF cũng đóng cửa rồi !

MnF đã mở cửa ,doccocaubai tìm lại link giùm nhé!:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

Nguyên văn bởi ma 29

Ừm,cám ơn Tuấn
Mình có biết đến một kết quả sau ( Từ 1 bài viết của anh Phạm Gia Vĩnh Anh) là một đánh giá rất tốt cho tổng ba đường trung tuyến ( mạnh và chặt hơn bài 1,2) :

Bài 32:
$m_a+m_b+m_c \leq \frac{sqrt{3} (a+b+c) }{2}+\frac{\left|b-c \right|+\left|c-a \right|+\left|a-b \right|}{4} $

Lâu rồi không post bài, hôm nay ngồi nổi hứng post bài rồi lặn luôn 1 hơi dài để ôn thi. Tiếc là tôi không thể giải bằng 4, 5 dòng như doccocaubai nói được, thông cảm nhé!
Không mất tổng quát giả sử $a\geq c\geq b $
Gọi $AM, BN $là các đường trung tuyến
Gọi $AD, BE $là các đường phân giác
Ta có:
$MD=MC-DC=\frac{a}{2}-\frac{ab}{b+c}=\frac{a(c-b)}{2(b+c)}\leq \frac{c-b}{2} $
tương tự:
$NE\leq \frac{a-c}{2} $
Ta có:
$m_a\leq l_a+MD\leq l_a+\frac{c-b}{2} $
tương tự:
$m_b\leq l_b+\frac{a-c}{2} $
Suy ra:
$m_a+m_b+m_c\leq l_a+l_b+m_c+\frac{c-b}{2}+\frac{a-c}{2}\leq \frac{sqrt{3} (a+b+c) }{2}+\frac{\left|b-c \right|+\left|c-a \right|+\left|a-b \right|}{4} $
Vì:$l_a+l_b+m_c\leq \frac{sqrt{3}(a+b+c) }{2} $ (BĐT dạng Jackgafulkel- Không biết có viết sai không nữa^^Mọi người tự chứng minh nhé!)
$\frac{c-b}{2}+\frac{a-c}{2}=\frac{a-b}{2}\leq \frac{2\left|a-b \right|}{4}\leq \frac{\left|b-c \right|+\left|c-a \right|+\left|a-b \right|}{4} $
Vậy bài toán đã được chứng minh xong:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nbkschool]

Lời giải của anh trùng với lời giải trong quyển BĐT Trung tuyến của Lê Ngọc Lộc.Cái dài ở đây chủ yếu là khúc cm BĐT Jack chứ khúc sau cũng ko quá dài đâu ạ.
@Ai có thể cho em biết bài viết của anh Phạm Gia Vĩnh Anh nằm ở THTT số mấy ko ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Minh Tuấn]

Nguyên văn bởi nbkschool

Lời giải của anh trùng với lời giải trong quyển BĐT Trung tuyến của Lê Ngọc Lộc.Cái dài ở đây chủ yếu là khúc cm BĐT Jack chứ khúc sau cũng ko quá dài đâu ạ.
@Ai có thể cho em biết bài viết của anh Phạm Gia Vĩnh Anh nằm ở THTT số mấy ko ạ?

Hé thế à anh không có quyển em nói :hornytoro: Ở chỗ anh chắc cũng không có vì nếu có chắc anh mua òy, em chắc hiểu nhầm ý anh rồi vì anh đâu có ý nói lời giải dài ngắn chỗ nào đâu, anh chỉ nói là nó không ngắn đc đến 4, 5 dòng thôi. BĐT Jack... chứng minh cũng chỉ khoảng 1 trang thôi, không dài lắm. Chắc mọi người cũng đã đọc chứng minh rồi nên không post lại nữa. reamer:

Nguyên văn bởi ma 29

Một đánh giá khác của Phan Thành Việt cho tổng 3 tt :

Bài 41: $m_a+m_b+m_c \leq \sqrt{3p^2+ \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}} $

Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là Bài 32 và bài này thì bài nào chặt hơn??
Giải quyết nhé :hornytoro:

Giải quyết nốt bài này rồi offline:hornytoro:
Gọi $BN, CE $là các đường trung tuyến.
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$(m_a+m_b+m_c)^2 \leq 3p^2+ \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2} $

$\Leftrightarrow m_a^2+m_b^2+m_c^2+2(m_am_b+m_bm_c+m_cm_a)\leq \frac{7}{4}(a^2+b^2+c^2)+\frac{1}{2}(ab+bc+ca) (1) $
Lại có:
$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2) $
Nên
$(1)\Leftrightarrow 2(m_am_b+m_bm_c+m_cm_a)\leq(a^2+b^2+c^2)+\frac{1}{ 2}(ab+bc+ca) (2) $
Áp dụng BĐT Ptolemy cho tứ giác $BCNE $:

$BN.CE\leq BC.EN+BE.CN $

$\Leftrightarrow m_bm_c\leq \frac{a^2}{2}+\frac{bc}{4} $
Xây dựng 2 BĐT tương tự rồi cộng từng về ta có (2).
BĐT (2) cũng là cội nguồn của khá nhiều bài BĐT khác.
P/S: Bài này có trong quyển Phương pháp dồn biến của Phan Thành Việt nên nó có thể giải bằng dồn biến, bạn nào giải được thì post nhé:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi nbkschool

@Ai có thể cho em biết bài viết của anh Phạm Gia Vĩnh Anh nằm ở THTT số mấy ko ạ?

Số 5 năm 2001 :hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lamlaitudau]

cho em hỏi có cuốn sách nào chứng minh tất cả các bddt trên hoặc một tài liệu nào đó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi lamlaitudau

cho em hỏi có cuốn sách nào chứng minh tất cả các bddt trên hoặc một tài liệu nào đó

Chả hiểu ý bạn là gì cả , thế là anh 2M lại đẩy bóng sang cho em rồi:hornytoro:

Nguyên văn bởi 2M

Ối rồi tưởng gì chứ đầy!! một cuốn viết = tiếng Somali xuất bản ở Thổ nhĩ Kỳ, còn 1 cuốn viết = tiếng Thổ nhỹ Kì xuất bản ở Somaly ... em muốn có thì liên hệ trực tiếp với tác giả là chú ma29 ấy nhé!

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]