BĐT-Đánh giá từng biến-4

[MathNMN2016]

Đề bài:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ). $

Chứng minh rằng:

$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3\sqrt[3]{2}. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Không mất tổng quát, ta giả sử $x \le y \le z$.
Khi đó $x=S-2\sqrt{P}>0$.
BĐT cần c/m trở thành
$\frac{2S-2\sqrt{P}}{\sqrt[3]{P(S-2\sqrt{P}})}\ge 3\sqrt[3]{2}$
tương đương

$(2\sqrt{P} + S)(5\sqrt{P} - 2S)^2\ge 0.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Cho em hỏi, với cách giải này nếu như phát biểu đề bài thành tìm Giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}} $ thì ta làm như thế nào ạ?


------------------------------
$S=y+z $ và $P=yz $ đúng không anh?

Em nghĩ với điều kiện đẳng thức (giải theo cách trên) $S=\frac{5}{2}\sqrt{P} $ thì ta có thể sử dụng AM-GM để tìm GTNN. Nhưng nếu như chưa đoán được điều này thì sao ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Cho em hỏi, với cách giải này nếu như phát biểu đề bài thành tìm Giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}} $ thì ta làm như thế nào ạ?


------------------------------
$S=y+z $ và $P=yz $ đúng không anh?

Em nghĩ với điều kiện đẳng thức (giải theo cách trên) $S=\frac{5}{2}\sqrt{P} $ thì ta có thể sử dụng AM-GM để tìm GTNN. Nhưng nếu như chưa đoán được điều này thì sao ạ?

Dựa vào mẫu, chúng ta có thể bậc ra ý tưởng cho việc áp dụng Cauchy cho ba số $\alpha (S-2\sqrt{P}), \beta \sqrt{P}, \beta \sqrt{P}:$

$2S-2\sqrt{P}=2(S-2\sqrt{P})+\sqrt{P}+\sqrt{P} \ge 3\sqrt[3]{2P(S-2\sqrt{P})}.$
Từ đó ta suy ra điều phải chứng. Khi đó, chúng ta cũng "không cần" dự đoán trước điểm cực trị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Bài toán này xuất hiện trong:

Iran National Math Olympiad (Second round) 2014.

Và có thể giải đơn giản theo hướng chuẩn hoá.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]