|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
21-07-2016, 09:24 PM | #1 |
Senior Member Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: việt nam Bài gởi: 103 Thanks: 77 Thanked 43 Times in 28 Posts | Trường chia đường tròn Cho $\mathbb{K}$ là một trường và $n$ là một số nguyên dương không chia hết cho $p=\text{char}(\mathbb{K})$. Khi đó các nghiệm của đa thức $x^n-1\in\mathbb{K}[x]$ trong một bao đóng đại số của $\mathbb{K}$ được gọi là các căn bậc $n$ của đơn vị. Phần tử $\omega$ được gọi là một căn nguyên thủy bậc $n$ của đơn vị nếu $\omega$ là một căn bậc $n$ của đơn vị, đồng thời nhóm nhân cyclic sinh bởi $\omega$ trùng với nhóm nhân các căn bậc $n$ của đơn vị. Chứng minh rằng luôn tồn tại căn nguyên thủy bậc $n$ của đơn vị. |
02-08-2016, 02:17 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2013 Bài gởi: 60 Thanks: 11 Thanked 16 Times in 15 Posts | Trích:
1. Giả sử nhóm G là abel hữu hạn. là một nhóm abel hữu hạn nên theo định lý cơ bản của nhóm abel hữu hạn sinh $$S \cong \prod \mathbb{Z}/a_n$$ với $a_j|a_{j+1}$. Có $a_1$ phần tử trong mỗi nhóm $\mathbb{Z}/a_i$ thỏa mãn $x^{a_1}=1$. Giả sử $G \leq K^{\times}$. Do K là một trường nên chỉ có tối đa $a_1$ phần tử là nghiệm của phương trình. Vậy chỉ có 1 nhóm cyclic và G là cyclic. 2. Giả sử G là một nhóm hữu hạn cấp n. Nếu với mỗi d|n, tồn tại tối đa d phần tử của G thỏa mãn $x^d=1$ thì G là cyclic. Chứng minh. Nếu có phần tử x có cấp d|n thì <x> có d phần tử, nên theo giả thiết nó chứa tất cả các phần tử thỏa mãn $x^d=1$. Suy ra số phần tử cấp d là $\phi(d)$. Như vậy số phần tử cấp d bằng 0 hoặc bằng $\phi(d)$. Suy ra $n=\sum_{d|n} |{x|ord(x)=d} \leq \sum_{d|n} \phi(d)=n$ và các dấu bằng xảy ra dẫn đến $|{x|ord(x)=d}|=\phi(d)$. Nói riêng có phần tử cấp n. Vậy G là cyclic thay đổi nội dung bởi: Ngonkhtn, 02-08-2016 lúc 02:24 PM | |
Bookmarks |
|
|