Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Tôpô/Topology

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 17-01-2013, 10:05 PM   #16
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Anh đoán thôi nhé, lâu rồi anh không sờ vào topo hình học kiểu này. Anh thấy nối mặt cầu với không gian xạ ảnh thì về mặt topo cũng chỉ như tích wedge (hoặc bouquet) $\mathbb{S}^n\vee \mathbb{RP}^n.$ Mà ta có phủ hai lá $\mathbb{S}^n \to \mathbb{RP}^n.$

Thế chắc là phải có ánh xạ cảm sinh $\mathbb{S}^n \vee \mathbb{S}^n\to \mathbb{S}^n\vee \mathbb{RP}^n.$ Và nếu thế thì ánh xạ này là một phủ.

Em xem xem có sai sót nào không? Nếu có thì nhớ góp ý vì anh cũng thích giải bài tập
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 99 For This Useful Post:
Gallus (19-01-2013)
Old 19-01-2013, 12:52 AM   #17
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Em cảm ơn anh! Đúng rồi anh ạ, như thế cũng viết ra được công thức nữa Nhưng đây lại là bài đầu tiên của kì sắp tới của bọn em, bài về định lý van Kampen. Vậy mà thầy giáo cũng hỏi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-03-2013, 11:27 PM   #18
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Em chào anh 99

Bài trước nếu dùng định lý van Kampen thì có thể tách $\mathbb{S}^n \vee \mathbb{RP}^n $ thành hai phần, một phần tương đương homotopy(đồng luân ạ?) với $\mathbb{S}^n $ phần kia tương đương đồng luân với $\mathbb{RP}^n $, trong khi đó giao của hai phần thì tương đương với một điểm. Cả ba phần này đều biết được nhóm cơ bản rồi nên thay vào định lý là ta có ngay kết quả.

Còn về phủ thì $\mathbb{S}^n $ chính là phủ 2 lần của $\mathbb{RP}^n $, và cũng là phủ của chính nó. Đây là phủ universal(?) khi $\ n \geq 2 $ cho nên số lần phủ bằng với chỉ số $\ |\pi_1(\mathbb{S}^n \vee \mathbb{RP}^n) : Im(p_*)| $, và bằng hai.
Nên nhóm cơ bản có 2 phần tử khi $\ n \geq 2 $, vậy chính là $\mathbb{Z}_2 $
------------------------------
Ngại quá, mấy bài anh đưa lên ở đầu em hầu như chưa học đến. Kì này em học vào Topo đại số, mấy tuần này là định lý van Kampen, không gian topo có nhóm cơ bản là nhóm tự do, một ít lý thuyết nút,nhóm bện, với phức CW. Bài tập cũng có một số, nhưng em thấy hay làm bài tập về tìm số lớp homotopy giữa 2 không gian (ví dụ như tính số lớp homotopy của các ánh xạ từ $\mathbb{S}^2 $ vào $ \mathbb{S}^1 $ hay là từ $\mathbb{RP}^2 $ vào $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 $).

Cái này có thể ứng dụng một bổ đề về ánh xạ nâng lên: $\ p : (Z,z_0) \rightarrow (X,x_0) $ là một phủ, và $\ f : (Y,Y_0) \rightarrow (X,x_0) $ là một ánh xạ liên tục. Nếu $\ Y $ liên thông đường một cách địa phương, và liên thông đều (? : nhóm cơ bản của nó là 0 ) thì sẽ tồn tại ánh xạ nâng $\ g : (Y,y_0) \rightarrow (Z,z_0) $ sao cho: $\ f = p \circ g $.

Anh muốn hỏi anh 99 có cách nào đó khác để đếm số lớp homotopy hay không ạ?

Dùng topo chứng minh được mấy bài về nhóm tự do hay phết anh ạ
------------------------------
Tức là câu hỏi của em là để tính số lớp homotopy giữa 2 không gian topo thì chúng ta làm theo cách nào ạ?

Ví dụ cụ thể như đếm số lớp homotopy của các ánh xạ từ $\mathbb{RP}^2 $ vào $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 $?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Gallus, 09-03-2013 lúc 11:58 PM Lý do: Tự động gộp bài
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-03-2013, 12:49 AM   #19
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Gallus View Post
Ngại quá, mấy bài anh đưa lên ở đầu em hầu như chưa học đến. Kì này em học vào Topo đại số, mấy tuần này là định lý van Kampen, không gian topo có nhóm cơ bản là nhóm tự do, một ít lý thuyết nút,nhóm bện, với phức CW. Bài tập cũng có một số, nhưng em thấy hay làm bài tập về tìm số lớp homotopy giữa 2 không gian (ví dụ như tính số lớp homotopy của các ánh xạ từ $\mathbb{S}^2 $ vào $ \mathbb{S}^1 $ hay là từ $\mathbb{RP}^2 $ vào $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 $).

Cái này có thể ứng dụng một bổ đề về ánh xạ nâng lên: $\ p : (Z,z_0) \rightarrow (X,x_0) $ là một phủ, và $\ f : (Y,Y_0) \rightarrow (X,x_0) $ là một ánh xạ liên tục. Nếu $\ Y $ liên thông đường một cách địa phương, và liên thông đều (? : nhóm cơ bản của nó là 0 ) thì sẽ tồn tại ánh xạ nâng $\ g : (Y,y_0) \rightarrow (Z,z_0) $ sao cho: $\ f = p \circ g $.

Anh muốn hỏi anh 99 có cách nào đó khác để đếm số lớp homotopy hay không ạ?

Dùng topo chứng minh được mấy bài về nhóm tự do hay phết anh ạ
------------------------------
Tức là câu hỏi của em là để tính số lớp homotopy giữa 2 không gian topo thì chúng ta làm theo cách nào ạ?

Ví dụ cụ thể như đếm số lớp homotopy của các ánh xạ từ $\mathbb{RP}^2 $ vào $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 $?
Chào em,
Phần về homotopy là một trong những cái anh kém nhất trong topo đại số, vì anh học cái đó trong có 1 tuần qua bài giảng của Audin [Only registered and activated users can see links. ] Thành ra pó tay với câu hỏi của em.

Nếu em có bài giảng, tài liệu, bài tập nào hay hay về định lý Van Kampen, hay liên quan tới homotopy thì cố gắng gửi lên topic này hoặc chỗ nào đó của forum Điều đó có thể giúp anh, hoặc nhiều người khác ở VN cải thiện kiến thức và bài giảng. Ít nhất trước mắt là hình dung xem có những loại bài tập nào, để còn định hướng nên học cái gì về homotopy.


PS: Nếu nhóm $\pi_1$ bằng 0 thì người ta gọi không gian là "đơn liên".
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 99 For This Useful Post:
Gallus (12-03-2013)
Old 10-03-2013, 09:12 PM   #20
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Em chào anh!

Em là sinh viên năm thứ 2, mới bắt đầu học thôi anh ạ. Không dám với không đủ kiến thức để nói là cải thiện cho mọi người đâu anh.
Với lại chỗ em học cũng làng nhàng lắm, cùng lắm là về toán rời rạc còn có một chút cái hay, chứ không nổi tiếng như bên Pháp đâu anh ạ.

Em cũng thích học topology. Có một những thứ em thấy hay hay, với các bài tập trên lớp em sẽ chia sẻ với mọi người ạ. Chỉ sợ mọi người đọc qua hết rồi thôi

Bài: Tính số lớp homotopy của tập các ánh xạ từ $\mathbb{S}^2 $ vào $\mathbb{S}^1 $?

Vì $\mathbb{S}^1 $ có phủ universal là $\mathbb{R} $ (phủ universal: không gian phủ là không gian đơn liên), vì thế mỗi một ánh xạ từ $\mathbb{S}^2 $ vào $\mathbb{S}^1 $ sẽ có một ánh xạ nâng từ $\mathbb{S}^2 $ vào $\mathbb{R} $. (Sử dụng bổ đề ở trên).

Bởi vì cả hai không gian $\mathbb{S}^2 $ và $\mathbb{R} $ đều đơn liên, cho nên tất cả các ánh xạ từ $\mathbb{S}^2 $ vào $\mathbb{R} $ đều tương đương homotopy với ánh xạ hằng số.

Do đó tất cả ánh xạ từ $\mathbb{S}^2 $ vào $\mathbb{S}^1 $ đều tương đương homotopy với ánh xạ hằng, vì thế chỉ có 1 lớp homotopy.

p/s: định lý van Kampen có ứng dụng để chứng minh vài định lý về nhóm tự do, em thấy cũng hay, không biết mọi người đọc qua chưa ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Gallus For This Useful Post:
99 (10-03-2013)
Old 10-03-2013, 10:12 PM   #21
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Năm thứ 2 mà chú bàn như cao học ở VN ý Không nên e dè quá, chú yên tâm là có rất ít sv VN có thể hiểu mấy điều chú đang viết. Thoải mái trao đổi sẽ tốt hơn

Anh góp ý tẹo: universal dịch là phổ dụng. Phủ $\mathbb{R}^1\to S^1$ là phổ dụng do $\mathbb{R}^1$ đơn liên, chứ không có nghĩa là phủ phổ dụng là phủ mà không gian phủ là đơn liên. Theo như anh nhớ, phủ phổ dụng có tính chất chẻ ánh xạ (tức là tách một ánh xạ thành hợp của hai ánh xạ, một cái vào/ra phủ phổ dụng, cũng giống như mọi tính chất phổ dụng khác, ví dụ tích tensor).

Bài của em chính là tính $\pi_2(S^1)$ (và nói thật là anh không biết tính, chỉ biết kết quả). Năm ngoái anh thi môn topo đa tạp chiều thấp, và có tham khảo cái file dán ở dưới. cũng khá hữu ích.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf Wright A., Homotopy Groups Of Spheres.pdf (142.5 KB, 11 lần tải)
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 99 For This Useful Post:
Gallus (10-03-2013)
Old 10-03-2013, 10:44 PM   #22
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Cảm ơn anh!

Em không dám so sánh gì đại học với cao học đâu. Thực ra lúc sang đây học em cũng hơi bị sốc, cứ ngỡ nước người ta dạy dễ hơn nước mình. Tưởng là nước mình học toán khó lắm rồi, hóa ra là nhầm.

Sách tham khảo của bọn em kì này là:

W. S. Massey: Algebraic Topology: An Introduction, Yale 1971;
J. W. Milnor: Topology from the differentiable viewpoint, Virginia 1965;
và quyển bài giảng bằng tiếng Hungary nữa.

Ở chỗ em người ta thích giải bài tập cho nên nhiều bài tập lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-03-2013, 10:50 PM   #23
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Giáo dục nước mình bây giờ nát rồi, không chữa được. Muốn có chất lượng thì phải thực hành nhiều. Ở VN chuyện thực hành không có, thì lấy đâu ra mà tốt hả em? Anh nghĩ em nên tham khảo thêm Hatcher và cuốn của Hirsch (Differential Topology) + bài giảng của Igusa (học trò của Hatcher, tìm bằng google).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 99 For This Useful Post:
Gallus (10-03-2013)
Old 10-03-2013, 11:12 PM   #24
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Em cảm ơn anh!

Ngoài quyển của Hatcher, hai quyển kia anh bảo em mới biết.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Gallus, 10-03-2013 lúc 11:20 PM Lý do: Xóa phần buôn chuyện linh tinh.
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-03-2013, 11:16 PM   #25
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Mấy cuốn ý thật ra hơi khó, vì nó dành cho Graduate. Nếu khó quá, em có thể tìm
- Terry Lawson
- Christine Kinsey

Hai cuốn của hai tác giả này dành cho undergraduate và cũng bàn về topo hình học như em đang nói.

Ngoài ra, năm ngoái thì anh còn phải gặm gần hết cuốn của Matsumoto, Introduction to Morse theory. Em thích thì ngó qua. Anh thấy cuốn ý hay lắm. Toàn những thứ hồi ở VN anh không bao giờ được nghe nói tới.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 99 For This Useful Post:
Gallus (12-03-2013)
Old 12-03-2013, 12:03 AM   #26
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Em cảm ơn anh 99!

Em down về được hết rồi, nhưng chắc em chọn 1,2 quyển để đọc thôi, các quyển khác ngó qua một chút. Chứ nhiều sách quá down về cất chữ mà không đọc thì cũng không được gì
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-06-2013, 09:39 PM   #27
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Hi anh 99!

Em mới thi viết môn giới thiệu topo đại số xong. Đề bài với mọi người chắc không khó đâu, nhưng em cứ post lên cho ai mới học thử làm xem sao

Phần 1:

1. Cho $\X $ là không gian topo tạo bởi ba mặt cầu $\mathbb{S}^2 $ đôi một tiếp xúc với nhau. Tìm không gian phủ phổ dụng của $\ X $ và tính $\pi _{1}(X) $?

2. Lấy $\ x $ và $\ y $ là các phần tử sinh ứng với 2 đường tròn trong nhóm cơ bản $\pi _{1}(\mathbb{S}^1 \vee \mathbb{S}^1) $. Tìm không gian phủ ứng với nhóm con sinh bởi $\ x $, tức là nhóm $\ <x> $, và không gian phủ ứng với nhóm $\ <yxy^{-1}> $?

3. Cho $\ X $ là không gian topo có điểm $\ x _{0} $ cố định.
Cho một homotopy $\ H: X \times [0,1] \to X $ thỏa mãn: $\ H|_{X \times {0}} = H |_{X \times {1}} = id_{X} $.
Đặt $\ u: [0,1] \to X, u(t) = H(x_{0},t) $. CMR: lớp homotopy của vòng (loop?) $\ u $ thì nằm trong tâm của nhóm cơ bản $\pi_{1}(X,x_{0}) $.

4. Với chỉ số $\ n $ nào thì tồn tại nhóm con đẳng cấu với nhóm tự do $\ F_{10} $ và có chỉ số hữu hạn, của nhóm tự do $\ F_{n} $?

5. Một torus đặc (tức là $\ S^{1} \times D^{2} $) retractable được lên biên của nó hay không?

6. Cho $\ n \ge 1 $ và $\ f: S^{n} \to RP^{n} $ là một ánh xạ liên tục. CMR: $\ f $ hoặc là toàn ánh, hoặc là tương đương homotopical với ánh xạ $\ 0 $.

7.CMR: không tồn tại nhóm topo nào homeomorphic với $\ S^{2} $.

Còn 2 bài nữa em type dần. Thầy giáo em giải hết rồi, cho nên cần lời giải thì mọi người cứ nhắn em
------------------------------
Thi phần 2:

1. Xây dựng một trường vector tiếp xúc trên $\ S^{2} $, sao cho nó có 4 điểm không và có chỉ số thì khác không. (Chỉ số như trong định lý Poincaré-Hopf).

2.Tìm một phủ ba lá regular và một phủ ba lá irregular của mặt $\ A_{2} $. (Tức là mặt cầu gắn thêm 2 tai. Phủ regular là phủ có ánh xạ phủ $\ p: X \to Y $ sao cho: $\ Im ( p_{*}) $ là nhóm con chuẩn tắc của $\pi_{1}(Y) $).

3. Lấy một torus, một chai Klein và $\ RP^{2} $, trên mỗi mặt đục hai đĩa là nối lần lượt từng đôi một bởi các ống.(Như thể ba người nắm tay nhau thành vòng tròn). Hỏi mặt nhận được mặt bậc hai nào? (Trong phân loại các đa tạp đóng, compact hai chiều).

4.CMR: $\ S^{p} \times S^{q} $ không homeomorphic với $\ S^{p+q} $.

5. Tìm bậc có thể của ánh xạ $\ S^{3} \to RP^{3} $.

6. Tìm điểm critical và giá trị critical của ánh xạ $\ det: R^{n \times n} \to R $.

7.Tìm hai immersion không tương đương regularly homotopical từ $\ S^{1} \times [0,1] $ vào $\ R^{3} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Gallus, 07-06-2013 lúc 10:05 PM Lý do: Tự động gộp bài
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to Gallus For This Useful Post:
99 (09-06-2013), Newmath. (10-06-2013), pega94 (07-06-2013)
Old 09-06-2013, 08:19 PM   #28
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Cám ơn Gallus về đề bài. Anh thấy nội dung khá phong phú, và sẽ thú vị nếu có lời giải của hầu hết các bài tập ở đó tuy nhiên, cũng nên suy nghĩ một chút trước khi nhận được lời giải. Cũng nói thật là nhìn đề bài này thấy hơi khó, nhiều kiến thức anh chưa được học.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-06-2013, 11:31 AM   #29
Newmath.
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gởi: 97
Thanks: 18
Thanked 33 Times in 27 Posts
Mình cũng đang rảnh rỗi nên cũng nghĩ mấy bài liên quan đến nhóm (đối) đồng điều. Đang thắc mắc về bậc trong bài 5 phần 2 đc định nghĩa ntn? Có thay số chiều 3 bằng 4 được ko ?
Bài này tôi ra kết quả là bậc của 1 ánh xạ luôn là số chẵn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Newmath., 10-06-2013 lúc 01:58 PM
Newmath. is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-06-2013, 03:48 PM   #30
Gallus
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 62
Thanks: 17
Thanked 25 Times in 19 Posts
Hi anh,

bậc của ánh xạ trơn được định nghĩa như trong định lý Hofp.
Kết quả là đúng rồi anh ạ.
Chiều bằng 4 thì $\ RP^{4} $ không định hướng được (chiều chẵn), cho nên nó chỉ định nghĩa được bậc mod 2, khi đó thì nó cũng đúng (cả hai bằng 0).
------------------------------
Hi anh 99,

Kiến thức hơi rải rác một chút anh ạ. Chủ yếu là định lý van Kampen, ánh xạ phủ trong quyển của Hatcher, phân loại các đa tạp đóng bậc 2 trong quyển của Massey (A Basic Course in Algebraic Topology - William S. Massey) và một ít topo vi phân, là toàn bộ quyển của Milnor.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Gallus, 10-06-2013 lúc 03:52 PM Lý do: Tự động gộp bài
Gallus is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:02 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 101.32 k/116.65 k (13.15%)]