|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
19-03-2011, 02:08 PM | #1 |
+Thành Viên Danh Dự+ | Topic về hệ phương trình Chào các bạn!. Hệ phương trình luôn là một dạng toán hay , nó không khó nhưng đòi hỏi tính chặt chẽ trong các phương trình của hệ, khi ta giải một bài hệ phương trình nào đó thì có rất nhiều hướng đi hiện lên trong đầu ta! Còn có những bài hệ khi ta nhìn vào thì tưởng rằng rất dễ nhưng ẩn chứa trong đó là điều gì đó rất khó và thú vị. Nay mình xin phép mọi người và các Mod, Amind cho mình lập ra một topic này để cùng trao dồi thêm kinh nghiệm khi giải hệ phương trình: Sau đây là một số bài mình sưu tầm được và tương đối bình thường . Mong mọi người đóng góp thêm lời giải và một số hệ hay cho mọi người tham khảo. Xin cám ơn: Bài 1: $\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 5 \\ x^5 + y^5 = 11(x + y) \\ \end{array} \right $ Bài 2: $\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + xy = 3 \\ x^2 + 2xy = 7x + 5y - 9 \\ \end{array} \right $ Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\ z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\ x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\ \end{array} \right $ Bài 4: $\left\{ \begin{array}{l} \left| {xy - 4} \right| = 8 \\ xy = 2x^2 \\ \end{array} \right $ __________________ Phan Tiến Đạt thay đổi nội dung bởi: phantiendat_hv, 01-04-2011 lúc 11:35 PM |
The Following 27 Users Say Thank You to phantiendat_hv For This Useful Post: | arsenal1000 (27-07-2012), boheoga9999 (02-05-2011), boyqn (23-05-2011), daylight (20-03-2011), duynhan (19-03-2011), hanamichi1302 (21-08-2011), handsomeboy (30-03-2012), hansongkyung (27-01-2012), hgly1996 (27-01-2012), hungga (05-07-2011), huynhcongbang (19-03-2011), Ino_chan (30-05-2011), je.triste (20-03-2011), ladykillah96 (16-01-2012), lilsalyn (10-04-2012), motngaytotlanh (21-09-2012), nguyenxuanthai (29-03-2013), nhat7d (03-07-2011), Persian (19-03-2011), PromathLHP (24-05-2011), rocket (01-07-2011), SmathsVN (06-04-2012), thichhoctoanla (30-09-2012), thinhso01 (20-05-2013), tienanh_tx (27-05-2013), Trànvănđức (23-12-2012), Yucio.3bi_love (12-07-2011) |
19-03-2011, 04:17 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2010 Đến từ: Tp_HCM Bài gởi: 170 Thanks: 109 Thanked 60 Times in 32 Posts | Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\ z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\ x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\ \end{array} \right $ Mình giải thử bài 3 nha Xét 2 trường hợp: 1. $x,y,z=0 $thỏa mãn nghiệm hệ. Vậy hệ có nghiệm $x=y=z=0 $ 2. Nếu ít nhất 1 số khác 0,từ pt thứ 3 suy ra $x>0 $suy ra $y,z>0 $ Nhân cả 3 vế lại với nhau ta có: $\frac{8x^2y^2z^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}=xyz $$\Leftrightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=8xyz $ Lại có $1+x^2\geq2x, 1+y^2\geq2y, 1+z^2\geq2z $ $\Rightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\geq8xyz $ Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1 $ Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $ __________________ NOTHING IS IMPOSSIBLE |
The Following 7 Users Say Thank You to boheoga9999 For This Useful Post: | Ino_chan (27-03-2011), motngaytotlanh (21-09-2012), nguyenxuanthai (29-03-2013), nhat7d (03-07-2011), phantiendat_hv (19-03-2011), pontriagin (30-06-2011), SmathsVN (06-04-2012) |
19-03-2011, 04:55 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Bài gởi: 182 Thanks: 143 Thanked 79 Times in 55 Posts | Bài 1 Ta có $(I)HPT\Leftrightarrow \begin{cases} & x^2+y^2=5 \\ & (x+y)[(x^2+y^2)^2-x^2y^2-xy(x^2+y^2)-11]=0 \end{cases} $ Bằng phép thế dễ có $(I)\Leftrightarrow \begin{cases} & x^2+y^2=5 \\ &(x+y)(xy-2)(xy+7)=0 \end{cases} $ Bạn xem lại đề bài 4 cái !? __________________ MH thay đổi nội dung bởi: Quydo, 19-03-2011 lúc 06:14 PM |
The Following 4 Users Say Thank You to Quydo For This Useful Post: |
19-03-2011, 05:36 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Bài gởi: 15 Thanks: 6 Thanked 7 Times in 5 Posts | Bài 2: Cộng vế với vế của hệ pt rối viết về pt tích (2x+y-3)(x+y-2)= 0 |
The Following 3 Users Say Thank You to kandten For This Useful Post: |
19-03-2011, 07:24 PM | #5 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: Có những thứ mình đã nhẫn tâm đánh mất sẽ không bao giờ lấy lại được. Bài gởi: 257 Thanks: 103 Thanked 200 Times in 112 Posts | Trích:
$\[\left\{ \begin{array}{l} \left| {xy - 4} \right| = 8\\ xy = 2{x^2} \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} xy = 12\\ xy = - 4 \end{array} \right.\\ 2{x^2} = xy \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy = 12\\ {x^2} = 6 \end{array} \right. $ $\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt 6 \\ y = 2\sqrt 6 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - \sqrt 6 \\ y = - 2\sqrt 6 \end{array} \right. \end{array} \right.\] $ thay đổi nội dung bởi: Persian, 19-03-2011 lúc 07:27 PM | |
The Following User Says Thank You to Persian For This Useful Post: | phantiendat_hv (19-03-2011) |
19-03-2011, 07:28 PM | #6 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts | Trích:
| |
The Following 3 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post: |
19-03-2011, 07:49 PM | #7 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: Có những thứ mình đã nhẫn tâm đánh mất sẽ không bao giờ lấy lại được. Bài gởi: 257 Thanks: 103 Thanked 200 Times in 112 Posts | Trích:
Nhân 3 pt của hệ có $xyz=\frac{8xyz}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)} $ $\Rightarrow x=0 $thì $y=z=0 $ TH$ y=0 $ hoặc$ z=0 $ tương tự thì chỉ có nghiệm (0;0;0) Nếu $(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)=8(*) $ Dễ thấy x;y;z cùng dấu nếu$ (x;y;z) $ là nghiêm thì (-x;-y;-z) cũng là nghiệm vậy ta chỉ TH $x,y,z>0 $ Từ $x^2+1 \geq 2|x|=2x $ Nên$y=\frac{2x}{x^2+1} \le 1 $ tương tự $x;z \le 1 $ $VT(*) \le 8 $ Dấu $"=" $ xảy ra khi $x=y=z=1 $ Do đó $(-1;-1;-1) $ cũng là nghiệm | |
The Following 6 Users Say Thank You to Persian For This Useful Post: | cool hunter (12-05-2013), ilovehien95 (09-07-2011), Ino_chan (27-03-2011), motngaytotlanh (21-09-2012), nhat7d (03-07-2011), phantiendat_hv (19-03-2011) |
19-03-2011, 09:25 PM | #8 |
+Thành Viên Danh Dự+ | Bài 5: $\left\{ \begin{array}{l} xy=x^2+y^2\\ (x+1)^4+(1-y)^4=1\\ \end{array} \right $ Mình xin lỗi về bài 4 xin sửa lại là : phuơng trình của hệ đầu là y-8 __________________ Phan Tiến Đạt thay đổi nội dung bởi: phantiendat_hv, 19-03-2011 lúc 09:29 PM |
The Following User Says Thank You to phantiendat_hv For This Useful Post: | nhat7d (03-07-2011) |
19-03-2011, 09:28 PM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Bài gởi: 231 Thanks: 103 Thanked 118 Times in 68 Posts | Trích:
Từ (1) suy ra : $x=y=0 \| \ \ (x-\frac12y)^2 + \frac34y^2 = 0 $ Thế vào (2) không thỏa ---> Vô nghiệm ------------------------------ $\fbox{Bai 7} \\ \left\{ \begin{matrix}a(a+b)= 3 \\ b(b+c)=30 \\ c(c+a) = 12 \end{matrix} \right. $ __________________ thay đổi nội dung bởi: duynhan, 19-03-2011 lúc 09:34 PM Lý do: Tự động gộp bài | |
The Following User Says Thank You to duynhan For This Useful Post: | nhat7d (03-07-2011) |
19-03-2011, 11:04 PM | #10 | |
+Thành Viên+ | Trích:
x^2 + xy = 3 -y^2\\ x^2 + x(2y-7 )= 5y - 9 \\ \end{array} \right $ đặt $t=x^2 $ hệ trở thành $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t + xy = 3 -y^2\\ t + x(2y-7 )= 5y - 9 \\ \end{array} \right $ ta có $D=y-7 $ $D_t=-2y^3+2y^2+15y-21 $ $D_x=y^2+5y-12 $ nhận thấy y=7 không phải là nghiệm xét y khác 7 suy ra $t=\frac{D_t}{D}=\frac{-2y^3+2y^2+15y-21}{y-7} $ $x=\frac{D_x}{D}=\frac{y^2+5y-12}{y-7} $ mà $t=x^2 $ suy ra $\frac{-2y^3+2y^2+15y-21}{y-7}=[\frac{y^2+5y-12}{y-7}]^2 $ $=\Rightarrow y=1 \vee y=-1 $ thữ lại vào trên là kết thúc ... __________________ $Le~Thien~Cuong $ | |
The Following 3 Users Say Thank You to Unknowing For This Useful Post: |
20-03-2011, 12:24 AM | #11 |
+Thành Viên+ | Bài 8 $\left\{ \begin{matrix} x^4-y^4=\dfrac{121x-122y}{4xy} \\ x^4+14x^2y^2+y^4=\dfrac{122x+121y}{x^2+y^2} \end{matrix} $ __________________ $Le~Thien~Cuong $ |
The Following User Says Thank You to Unknowing For This Useful Post: | Infinitedreams (28-09-2014) |
20-03-2011, 01:02 AM | #12 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 304 Thanks: 70 Thanked 142 Times in 89 Posts | Trích:
x = X + 1\\ y = Y + 1 \end{array} \right.\] $ Ta có : $\[\left\{ \begin{array}{l} {\left( {X + Y} \right)^2} + 3\left( {X + Y} \right) - XY = 0\\ {X^2} - 3\left( {X + Y} \right) + XY = 0 \end{array} \right.\] $ Suy ra: $\[2{X^2} + 3XY + {Y^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = - \frac{Y}{2}\\ X = - Y \end{array} \right.\] $ | |
The Following 9 Users Say Thank You to maxmin For This Useful Post: | handsomeboy (30-03-2012), H_scorpio_95 (31-07-2011), ilikeit (07-06-2012), lady_kom4 (24-05-2011), motngaytotlanh (21-09-2012), pontriagin (13-05-2011), Quydo (20-03-2011), thanhgand (06-05-2011), Yucio.3bi_love (12-07-2011) |
20-03-2011, 06:40 AM | #13 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: Hải Dương Bài gởi: 214 Thanks: 139 Thanked 128 Times in 71 Posts | Từ các phương trình suy ra x, y, z >0 là chưa đúng, chỉ suy được chúng<1/2 __________________ ONLY ME |
20-03-2011, 08:08 AM | #14 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Bài gởi: 182 Thanks: 143 Thanked 79 Times in 55 Posts | Trích:
Sau đó giải như persian __________________ MH thay đổi nội dung bởi: Quydo, 20-03-2011 lúc 08:15 AM | |
20-03-2011, 08:49 AM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2010 Đến từ: Tp_HCM Bài gởi: 170 Thanks: 109 Thanked 60 Times in 32 Posts | Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\ z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\ x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\ \end{array} \right $ Mình giải thử cách 2 nha Từ hệ đã cho suy ra $x\geq0, y\geq0, z\geq0 $ Ta có BĐT $\frac{2x}{1+x^2}\leq1 $ $\Rightarrow y=\frac{2x^2}{1+x^2}=x.\frac{2x}{1+x^2}\leq x} $ (1) Tương tự $z\leq y, x\leq z $ (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow x=y=z $ Từ đó ta có $x=\frac{2x^2}{1+x^2}\Leftrightarrow x=0 $ hoặc $x=1 $ Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $ __________________ NOTHING IS IMPOSSIBLE |
The Following User Says Thank You to boheoga9999 For This Useful Post: | daylight (20-03-2011) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|