|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
18-01-2014, 07:27 PM | #1 |
Administrator | Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán SV ĐH FPT 2014 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN ĐẠI HỌC FPT NĂM 2014 Phần Giải tích. Câu 1. Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}$$ Câu 2. Xác định tất cả các số thực $c>0$ sao cho dãy số ${{a}_{1}}=\frac{c}{2},{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}(c+a _{n}^{2})$ với $n>0$ hội tụ và tìm giới hạn trong trường hợp đó. Câu 3. Cho hàm số liên tục $ f : [0;1]\to [0;1]$. Chứng minh phương trình $2x-\int_{0}^{x}{f(t)dt}=1$ có đúng một nghiệm trong $[0;1]$. Câu 4. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và $${f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{f}^{2}}(x)}$$ với mọi $x\ge 1$. Chứng minh rằng tồn tại $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$. Câu 5. TÌm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$xf(y)-yf(x)=f\left( \frac{y}{x} \right)$$ với mọi số thực $y$ và mọi số thực $x\ne 0.$ Câu 6. Cho dãy số thực $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ thỏa mãn i/ $({{a}_{n}}+{{b}_{n}}){{a}_{n}}\ne 0$ với mọi $n\ge 1.$ ii/ Các chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ đều hội tụ. Chứng minh rằng chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}}$ cũng hội tụ. Phần Đại số. Câu 1. Cho ma trận $$A=\begin{bmatrix} x & y & y \\ y & x & y \\ y & y & x \\ \end{bmatrix}$$ Tính ${{A}^{100}}$. Câu 2. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập số thực có tính chất tổng các phần tử trên mỗi hàng của $A$ đều bằng $c.$ Nếu ${{A}^{2}}=I$, tìm $c.$ Câu 3. Ký hiệu ${{M}_{n}}$ là không gian các ma trận vuông cấp $n.$ Xét ánh xạ tuyến tính $S:{{M}_{n}}\to {{M}_{n}}$ và $S(A)=A+{{A}^{T}}$. Tính $\dim(\operatorname{Im}S)$. Câu 4. a/ Cho $A$ là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo phân biệt. Cho $B$ là ma trận vuông giao hoán với $A.$ Chứng minh rằng tồn tại đa thức $f(t)$ sao cho $B=f(A).$ b/ Hãy giải bài toán trong trường hợp $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có $n$ giá trị riêng phân biệt. Câu 5. Cho $n>1$. a/ Hãy chỉ ra ma trận vuông $A$ cấp $n$ thỏa mãn ${{A}^{3}}=2{{A}^{2}}-A+2I.$ b/ Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập các số thực thỏa mãn ${{A}^{3}}=2{{A}^{2}}-A+2I.$ Chứng minh rằng $\det A>0.$ Câu 6. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn tính chất: i/ Các hệ số của $P(x)$ là hoán vị của $0,1,2,...,n.$ ii/ $P(x)$ có đúng $n$ nghiệm hữu tỉ. Đề này các bạn trường mình mới thi lúc sáng. Mọi người cùng thảo luận cho vui nhé! __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 18-01-2014 lúc 07:42 PM |
The Following 7 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | hoangnam94 (11-02-2014), khong_hai (19-01-2014), MathForLife (18-01-2014), minhcanh2095 (28-12-2014), thaygiaocht (18-01-2014), thiendienduong (18-01-2014), YeuEm Zayta (16-02-2014) |
19-01-2014, 02:50 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Câu 5) a) Tách ra được: $(A-I)(A^2-A+2)=0$ Ta có bổ đề:Cho ma trận vuông $A$ cấp $n$ và phương trình $A^2+bA+c=0$ có nghiệm phức thì $det(A^2+bA+c)\ge 0$ Vậy suy ra $A=I$ b) Suy ra $detA=1$ Bài 3) C/m: $dim(ImS)=\frac{n(n+1)}{2}$ Đó gồm các ma trận toàn 0 riêng số $1$ ở từng ô ở hàng chéo và ma trận $E_{ij}$ với $a_{ij}=a{ji}=1$ Bài 4) Câu a và b em hoàn toàn không hiểu ý! Nếu ma trận A nó n phần tử phân biệt trên đường chéo chính thì rõ ràng có n vecto riêng phân biệt trên mỗi cơ sở $E(\lamda)$ vậy là chéo hóa được. Tức là có đa thức B rồi ạ! Bài 1) __________________ thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 19-01-2014 lúc 01:58 PM |
The Following User Says Thank You to MathForLife For This Useful Post: | huynhcongbang (19-01-2014) |
19-01-2014, 09:04 AM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2013 Bài gởi: 47 Thanks: 19 Thanked 18 Times in 13 Posts | Trích:
$$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+\tan^2x} {1+\tan^4x}\: d(\tan x)$$ $$=\int_{0}^{1}\frac{1+x^2}{1+x^4}dx=\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left [ \frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{x^2- \sqrt{2}x+1} \right ]dx$$ $$=\frac{1}{2}\left [ \sqrt{2}\tan\left ( \sqrt{2}x+1 \right )+\sqrt{2}\tan\left ( \sqrt{2}x-1 \right ) \right ]_{0}^{1}$$ $$=\fbox{$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$}$$ | |
The Following User Says Thank You to Mrnhan For This Useful Post: | huynhcongbang (19-01-2014) |
19-01-2014, 11:57 AM | #4 |
Administrator | Câu 1 phần đại số mọi người có thể tham khảo lời giải trong file đính kèm. Ngoài ra, mình có gửi cả đề thi đầy đủ luôn (chưa có lời giải). Mong mọi người giúp thêm câu 4, 6 phần giải tích. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
19-01-2014, 12:53 PM | #5 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Trích:
Câu 5: $f(-1)=f(0)=f(1)=0.$ $f\left( \dfrac{1}{x} \right)=-f(x), \forall x \not= 0.$ $f(x^2)=\left( x+ \dfrac{1}{x} \right)f(x),\forall x \not= 0.$ Từ $x^2f(y^2)-y^2f(x^2)=f\left( \dfrac{y^2}{x^2} \right)$, ta có $$ \\ x^2\left( y+ \dfrac{1}{y} \right)f(y)-y^2\left( x+ \dfrac{1}{x} \right)f(x)=\left( \dfrac{y}{x}+ \dfrac{x}{y} \right)(xf(y)-yf(x)),\forall x,y \not= 0 \\ (x^2-1)yf(y)=(y^2-1)xf(x),\forall x,y \not= 0 \\ f(x)=C\left( x- \dfrac{1}{x} \right),\forall x \not= \{-1;0;1 \}. $$ Thử lại [...] Kết luận $$f(x)=\left\{\begin{matrix} C\left( x- \dfrac{1}{x} \right),\forall x \not= 0 \\0,x=0 \end{matrix}\right.$$ __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. thay đổi nội dung bởi: hakudoshi, 19-01-2014 lúc 08:36 PM | |
The Following User Says Thank You to hakudoshi For This Useful Post: | huynhcongbang (19-01-2014) |
19-01-2014, 01:51 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | File anh Lữ đưa là trích ra hay anh tự làm ạ? __________________ |
19-01-2014, 03:31 PM | #7 | |
Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts | Trích:
Câu 6: Bạn xem lại đề thử... chứ hai chuỗi hội tụ ở giả thiết là như nhau thế! | |
19-01-2014, 05:11 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An Bài gởi: 97 Thanks: 27 Thanked 35 Times in 28 Posts | Câu 2: *) Vì tổng các phần tử trên mỗi hàng của $A$ đều bằng $c$ nên dễ thấy $c$ là 1 trị riêng của $A$ *) Gọi $\lambda $ là 1 trị riêng của $A$ thì ta có $$det(A-\lambda I).det(A+\lambda I)=0$$, suy ra $det(A^{2}-\lambda ^{2}I)=0$, hay là $(1-\lambda ^{2})^{n}.detI=0$, suy ra $\lambda =\pm 1$ __________________ crazy thay đổi nội dung bởi: TBN_146, 19-01-2014 lúc 06:01 PM |
19-01-2014, 05:49 PM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Trích:
__________________ | |
19-01-2014, 05:59 PM | #10 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 75 Thanks: 39 Thanked 54 Times in 33 Posts | |
19-01-2014, 06:03 PM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An Bài gởi: 97 Thanks: 27 Thanked 35 Times in 28 Posts | Đã sửa rồi bạn nhé __________________ crazy |
19-01-2014, 06:11 PM | #12 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Nếu $c\ge 1$ thì chứng minh dãy tăng và không bị chặn trên Nếu $0<c\le 1$ thì chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới nên hội tụ và giới hạn giải phương trình giới hạn sẽ tìm được! ------------------------------ Mình vẫn không hiểu đoạn đó lắm giúp mình kĩ hơn tí nha. Thực là mình cũng loay hoay bài này chỗ caley mà không ra __________________ thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 19-01-2014 lúc 06:14 PM Lý do: Tự động gộp bài |
19-01-2014, 07:32 PM | #13 | |
Administrator | File này anh gõ lại và viết lời giải một số câu đấy, các thầy trường anh không có làm đáp án. ------------------------------ Trích:
Câu 6 thì đề đúng là $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{b_i}$ và $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i^2}{b_i^2}$. Mình viết nhầm. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 19-01-2014 lúc 07:42 PM Lý do: Tự động gộp bài | |
19-01-2014, 07:53 PM | #14 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 75 Thanks: 39 Thanked 54 Times in 33 Posts | Trích:
$f(x) $ tăng nên $f(x) \ge f(1)=1 $ suy ra $f'(x) \le \frac{1}{x^2+1} $ Suy ra $\int_1^x f'(t)dt \le \int_1^x \frac{dt}{t^2+1}\Leftrightarrow f(x) \le 1+\arctan x - \frac{\pi}{4} $ Đến đây là xong rồi nhỉ | |
19-01-2014, 07:55 PM | #15 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Trích:
__________________ | |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|