Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Tài Liệu/Documents

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 18-01-2014, 07:27 PM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán SV ĐH FPT 2014

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN ĐẠI HỌC FPT NĂM 2014


Phần Giải tích.

Câu 1. Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}$$ Câu 2. Xác định tất cả các số thực $c>0$ sao cho dãy số ${{a}_{1}}=\frac{c}{2},{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}(c+a _{n}^{2})$ với $n>0$
hội tụ và tìm giới hạn trong trường hợp đó.

Câu 3. Cho hàm số liên tục $ f : [0;1]\to [0;1]$. Chứng minh phương trình $2x-\int_{0}^{x}{f(t)dt}=1$ có đúng một nghiệm trong $[0;1]$.

Câu 4. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và $${f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{f}^{2}}(x)}$$ với mọi $x\ge 1$. Chứng minh rằng tồn tại $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$.

Câu 5. TÌm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$xf(y)-yf(x)=f\left( \frac{y}{x} \right)$$ với mọi số thực $y$ và mọi số thực $x\ne 0.$

Câu 6. Cho dãy số thực $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ thỏa mãn
i/ $({{a}_{n}}+{{b}_{n}}){{a}_{n}}\ne 0$ với mọi $n\ge 1.$
ii/ Các chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ đều hội tụ.
Chứng minh rằng chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}}$ cũng hội tụ.

Phần Đại số.

Câu 1. Cho ma trận $$A=\begin{bmatrix}
x & y & y \\
y & x & y \\
y & y & x \\
\end{bmatrix}$$ Tính ${{A}^{100}}$.

Câu 2. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập số thực có tính chất tổng các phần tử trên mỗi hàng của $A$ đều bằng $c.$ Nếu ${{A}^{2}}=I$, tìm $c.$

Câu 3. Ký hiệu ${{M}_{n}}$ là không gian các ma trận vuông cấp $n.$ Xét ánh xạ tuyến tính
$S:{{M}_{n}}\to {{M}_{n}}$ và $S(A)=A+{{A}^{T}}$.
Tính $\dim(\operatorname{Im}S)$.

Câu 4.
a/ Cho $A$ là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo phân biệt. Cho $B$ là ma trận vuông giao hoán với $A.$ Chứng minh rằng tồn tại đa thức $f(t)$ sao cho $B=f(A).$
b/ Hãy giải bài toán trong trường hợp $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.

Câu 5. Cho $n>1$.
a/ Hãy chỉ ra ma trận vuông $A$ cấp $n$ thỏa mãn ${{A}^{3}}=2{{A}^{2}}-A+2I.$
b/ Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập các số thực thỏa mãn ${{A}^{3}}=2{{A}^{2}}-A+2I.$
Chứng minh rằng $\det A>0.$

Câu 6. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn tính chất:
i/ Các hệ số của $P(x)$ là hoán vị của $0,1,2,...,n.$
ii/ $P(x)$ có đúng $n$ nghiệm hữu tỉ.

Đề này các bạn trường mình mới thi lúc sáng. Mọi người cùng thảo luận cho vui nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 18-01-2014 lúc 07:42 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
hoangnam94 (11-02-2014), khong_hai (19-01-2014), MathForLife (18-01-2014), minhcanh2095 (28-12-2014), thaygiaocht (18-01-2014), thiendienduong (18-01-2014), YeuEm Zayta (16-02-2014)
Old 19-01-2014, 02:50 AM   #2
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts
Câu 5)
a) Tách ra được: $(A-I)(A^2-A+2)=0$
Ta có bổ đề:Cho ma trận vuông $A$ cấp $n$ và phương trình $A^2+bA+c=0$ có nghiệm phức thì $det(A^2+bA+c)\ge 0$
Vậy suy ra $A=I$
b) Suy ra $detA=1$
Bài 3)
C/m: $dim(ImS)=\frac{n(n+1)}{2}$
Đó gồm các ma trận toàn 0 riêng số $1$ ở từng ô ở hàng chéo và ma trận $E_{ij}$ với $a_{ij}=a{ji}=1$
Bài 4)
Câu a và b em hoàn toàn không hiểu ý!
Nếu ma trận A nó n phần tử phân biệt trên đường chéo chính thì rõ ràng có n vecto riêng phân biệt trên mỗi cơ sở $E(\lamda)$ vậy là chéo hóa được. Tức là có đa thức B rồi ạ!
Bài 1)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 19-01-2014 lúc 01:58 PM
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to MathForLife For This Useful Post:
huynhcongbang (19-01-2014)
Old 19-01-2014, 09:04 AM   #3
Mrnhan
+Thành Viên+
 
Mrnhan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gởi: 47
Thanks: 19
Thanked 18 Times in 13 Posts
Trích:
Câu 1. Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}$$
Giải:

$$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+\tan^2x} {1+\tan^4x}\: d(\tan x)$$

$$=\int_{0}^{1}\frac{1+x^2}{1+x^4}dx=\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left [ \frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{x^2- \sqrt{2}x+1} \right ]dx$$

$$=\frac{1}{2}\left [ \sqrt{2}\tan\left ( \sqrt{2}x+1 \right )+\sqrt{2}\tan\left ( \sqrt{2}x-1 \right ) \right ]_{0}^{1}$$

$$=\fbox{$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mrnhan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Mrnhan For This Useful Post:
huynhcongbang (19-01-2014)
Old 19-01-2014, 11:57 AM   #4
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Câu 1 phần đại số mọi người có thể tham khảo lời giải trong file đính kèm.

Ngoài ra, mình có gửi cả đề thi đầy đủ luôn (chưa có lời giải).

Mong mọi người giúp thêm câu 4, 6 phần giải tích.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf Luy Thua Ma Tran.pdf (138.1 KB, 124 lần tải)
Kiểu File : pdf De Thi Chon Doi Tuyen OLP Toan SV FPT 2014.pdf (175.6 KB, 118 lần tải)
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2014, 12:53 PM   #5
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Phần Giải tích.

Câu 2. Xác định tất cả các số thực $c>0$ sao cho dãy số ${{a}_{1}}=\frac{c}{2},{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}(c+a _{n}^{2})$ với $n>0$
hội tụ và tìm giới hạn trong trường hợp đó.

Câu 5. TÌm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$xf(y)-yf(x)=f\left( \frac{y}{x} \right)$$ với mọi số thực $y$ và mọi số thực $x\ne 0.$
Câu 2: quá quen với các bạn thi HSG QG

Câu 5:
$f(-1)=f(0)=f(1)=0.$
$f\left( \dfrac{1}{x} \right)=-f(x), \forall x \not= 0.$
$f(x^2)=\left( x+ \dfrac{1}{x} \right)f(x),\forall x \not= 0.$


Từ $x^2f(y^2)-y^2f(x^2)=f\left( \dfrac{y^2}{x^2} \right)$, ta có
$$ \\ x^2\left( y+ \dfrac{1}{y} \right)f(y)-y^2\left( x+ \dfrac{1}{x} \right)f(x)=\left( \dfrac{y}{x}+ \dfrac{x}{y} \right)(xf(y)-yf(x)),\forall x,y \not= 0 \\ (x^2-1)yf(y)=(y^2-1)xf(x),\forall x,y \not= 0 \\ f(x)=C\left( x- \dfrac{1}{x} \right),\forall x \not= \{-1;0;1 \}. $$


Thử lại [...]
Kết luận
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
C\left( x- \dfrac{1}{x} \right),\forall x \not= 0 \\0,x=0
\end{matrix}\right.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.

thay đổi nội dung bởi: hakudoshi, 19-01-2014 lúc 08:36 PM
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hakudoshi For This Useful Post:
huynhcongbang (19-01-2014)
Old 19-01-2014, 01:51 PM   #6
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts
File anh Lữ đưa là trích ra hay anh tự làm ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2014, 03:31 PM   #7
tikita
Administrator

 
Tham gia ngày: Jun 2012
Bài gởi: 157
Thanks: 2
Thanked 84 Times in 53 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN ĐẠI HỌC FPT NĂM 2014


Phần Giải tích.


Câu 4. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và $${f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{f}^{2}}(x)}$$ với mọi $x\ge 1$. Chứng minh rằng tồn tại $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$.

Câu 6. Cho dãy số thực $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ thỏa mãn
i/ $({{a}_{n}}+{{b}_{n}}){{a}_{n}}\ne 0$ với mọi $n\ge 1.$
ii/ Các chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ đều hội tụ.
Chứng minh rằng chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}}$ cũng hội tụ.
Câu 4: Từ giả thiết suy ra $f'(x)>0$ với mọi $x\geq 1$. Suy ra $f$ là hàm tăng, khi đó hiển nhiên tồn tại $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.

Câu 6: Bạn xem lại đề thử... chứ hai chuỗi hội tụ ở giả thiết là như nhau thế!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tikita is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2014, 05:11 PM   #8
TBN_146
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
Bài gởi: 97
Thanks: 27
Thanked 35 Times in 28 Posts
Câu 2:

*) Vì tổng các phần tử trên mỗi hàng của $A$ đều bằng $c$ nên dễ thấy $c$ là 1 trị riêng của $A$
*) Gọi $\lambda $ là 1 trị riêng của $A$ thì ta có $$det(A-\lambda I).det(A+\lambda I)=0$$, suy ra $det(A^{2}-\lambda ^{2}I)=0$, hay là $(1-\lambda ^{2})^{n}.detI=0$, suy ra $\lambda =\pm 1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
crazy

thay đổi nội dung bởi: TBN_146, 19-01-2014 lúc 06:01 PM
TBN_146 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2014, 05:49 PM   #9
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi TBN_146 View Post
Câu 2:

*) Vì tổng các phần tử trên mỗi hàng của $A$ đều bằng $c$ nên dễ thấy $c$ là 1 trị riêng của $A$
*) Gọi $\lambda $ là 1 trị riêng của $A$ thì ta có $$det(A-\lambda I).det(A+\lambda I)=0$$, suy ra $det(A^{2}-\lambda ^{2}I)=0$, hay là $(1-\lambda ^{2}).detI=0$, suy ra $\lambda =\pm 1$
Mình không hiểu $(1-\lambda ^{2}).detI=0$ mong bạn giải thích rõ hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2014, 05:59 PM   #10
LichKing
+Thành Viên+
 
LichKing's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 75
Thanks: 39
Thanked 54 Times in 33 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi tikita View Post
Câu 4: Từ giả thiết suy ra $f'(x)>0$ với mọi $x\geq 1$. Suy ra $f$ là hàm tăng, khi đó hiển nhiên tồn tại $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.
Hàm tăng còn phải bị chặn nữa thì mới tồn tại giới hạn chứ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
LichKing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2014, 06:03 PM   #11
TBN_146
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
Bài gởi: 97
Thanks: 27
Thanked 35 Times in 28 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife View Post
Mình không hiểu $(1-\lambda ^{2}).detI=0$ mong bạn giải thích rõ hơn.
Đã sửa rồi bạn nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
crazy
TBN_146 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2014, 06:11 PM   #12
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts

Nếu $c\ge 1$ thì chứng minh dãy tăng và không bị chặn trên
Nếu $0<c\le 1$ thì chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới nên hội tụ và giới hạn giải phương trình giới hạn sẽ tìm được!
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi TBN_146 View Post
Đã sửa rồi bạn nhé
Mình vẫn không hiểu đoạn đó lắm giúp mình kĩ hơn tí nha.
Thực là mình cũng loay hoay bài này chỗ caley mà không ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 19-01-2014 lúc 06:14 PM Lý do: Tự động gộp bài
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2014, 07:32 PM   #13
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife View Post
File anh Lữ đưa là trích ra hay anh tự làm ạ?
File này anh gõ lại và viết lời giải một số câu đấy, các thầy trường anh không có làm đáp án.
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi tikita View Post
Câu 4: Từ giả thiết suy ra $f'(x)>0$ với mọi $x\geq 1$. Suy ra $f$ là hàm tăng, khi đó hiển nhiên tồn tại $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.

Câu 6: Bạn xem lại đề thử... chứ hai chuỗi hội tụ ở giả thiết là như nhau thế!
Câu 4 đề đúng là vậy, nhưng để mình hỏi lại xem chứ nếu thế thì $f(x)$ tiến tới vô cực một cách hiển nhiên, cũng lạ thật!

Câu 6 thì đề đúng là $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{b_i}$ và $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i^2}{b_i^2}$. Mình viết nhầm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 19-01-2014 lúc 07:42 PM Lý do: Tự động gộp bài
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2014, 07:53 PM   #14
LichKing
+Thành Viên+
 
LichKing's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 75
Thanks: 39
Thanked 54 Times in 33 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Câu 4 đề đúng là vậy, nhưng để mình hỏi lại xem chứ nếu thế thì $f(x)$ tiến tới vô cực một cách hiển nhiên, cũng lạ thật!

Câu 6 thì đề đúng là $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{b_i} $ và $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i^2}{b_i^2} $. Mình viết nhầm.
Đề đúng mà bác
$f(x) $ tăng nên $f(x) \ge f(1)=1 $ suy ra
$f'(x) \le \frac{1}{x^2+1} $
Suy ra
$\int_1^x f'(t)dt \le \int_1^x \frac{dt}{t^2+1}\Leftrightarrow f(x) \le 1+\arctan x - \frac{\pi}{4} $
Đến đây là xong rồi nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
LichKing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2014, 07:55 PM   #15
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
File này anh gõ lại và viết lời giải một số câu đấy, các thầy trường anh không có làm đáp án.
------------------------------


Câu 4 đề đúng là vậy, nhưng để mình hỏi lại xem chứ nếu thế thì $f(x)$ tiến tới vô cực một cách hiển nhiên, cũng lạ thật!

Câu 6 thì đề đúng là $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{b_i}$ và $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i^2}{b_i^2}$. Mình viết nhầm.
Thiệt ngại suy nghĩ lần 2 . Anh Lữ giải mấy kia đại số đi anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:12 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 110.86 k/127.46 k (13.03%)]