Tìm nghiệm nguyên dương

[Evarist Galois]

Tìm nghiệm nguyên dương:
$x^2+y^2=2011^{1995^k+1}(10-z) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Uy_Vũ]

Nguyên văn bởi Evarist Galois

Tìm nghiệm nguyên dương:
$x^2+y^2=2011^{1995^k+1}(10-z) $

NX: Nếu p nguyên tố dạng 4k+3 mà $p|x^2+y^2 $ thì $p|x;p|y $
Từ đây
$=>x=2011{x}_{1};y=2011y_{1} $
$=>{x}_{1}^2+{y}_{1}^2=2011^{1995^k-1}(10-z) $
Cứ tiếp tục như vậy thì ta có:
$x_{\frac{1995^k+1}{2}}^2+y_{\frac{1995^k+1}{2}}^2= 10-z $(*)
Dễ rồi giải (*) với nghiệm nguyên dương
Mà:$x=2011^{\frac{1995^k+1}{2}}.x_{1};y=2011^{\frac{19 95^k+1}{2}}.y_{1} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sieuhack_vp]

Nguyên văn bởi Uy_Vũ

NX: Nếu p nguyên tố dạng 4k+3 mà $p|x^2+y^2 $ thì $p|x;p|y $
Từ đây
$=>x=2011{x}_{1};y=2011y_{1} $
$=>{x}_{1}^2+{y}_{1}^2=2011^{1995^k-1}(10-z) $
Cứ tiếp tục như vậy thì ta có:
$x_{\frac{1995^k+1}{2}}^2+y_{\frac{1995^k+1}{2}}^2= 10-z $(*)
Dễ rồi giải (*) với nghiệm nguyên dương
Mà:$x=2011^{\frac{1995^k+1}{2}}.x_{1};y=2011^{\frac{19 95^k+1}{2}}.y_{1} $

Bài này có lẽ xuất phát từ bài:

Tìm tất cả các bộ $(x,y) $ nguyên dương để $\frac{x^2 + y^2}{x-y} $ là ước của $2011 $

Lời giải vẫn dùng cái bổ đề ý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenNhatTan]

Nguyên văn bởi Uy_Vũ

NX: Nếu p nguyên tố dạng 4k+3 mà $p|x^2+y^2 $ thì $p|x;p|y $
Từ đây
$=>x=2011{x}_{1};y=2011y_{1} $
$=>{x}_{1}^2+{y}_{1}^2=2011^{1995^k-1}(10-z) $
Cứ tiếp tục như vậy thì ta có:
$x_{\frac{1995^k+1}{2}}^2+y_{\frac{1995^k+1}{2}}^2= 10-z $(*)
Dễ rồi giải (*) với nghiệm nguyên dương
Mà:$x=2011^{\frac{1995^k+1}{2}}.x_{1};y=2011^{\frac{19 95^k+1}{2}}.y_{1} $

$(x,y,z)=(2011^{n},2011^{n},8);(2011^{n},2.2011^{n} ,5};(2.2011^{n},2011^{n},3);(2.2011^{n},2.2011^{n} ,2) $ với $n=\frac{1995^{k}+1}{2} $
P/s: Nếu e nhớ ko nhầm thì bài này có trong Phương trình nghiệm nguyên của thầy Phan Huy Khải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[4eyes_l0vely]

Một pài tương tự nè
Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình:
$x^{1994}+y^{1994}=4691^{4691}(x+y) $
CM bổ đề "Nếu p=4k+3 với p là số nguyên tố và $(x^{2}+y^{2})\vdots p => x\vdots p , y\vdots p $"
Thật vậy nếu có 1 số chia hết cho p thỳ số còn lại cũng chia hết cho p
Giả sử x và y đều không chia hết cho p khi đó $x^{p-1}\equiv y^{p-1}\equiv 1(mod p) $
Mặt khác ta có
$x^{2}\equiv -y^{2} (mod p) , p-1=2(2k+1) $
suy ra $x^{p-1}\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}y^{p-1}(mod p) $
$\Rightarrow (-1)^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 (mod p) $
mà $\frac{p-1}{2} $ lẻ do đó $-1\equiv 1 (mod p) $
Điều này không xảy ra.ta có đfcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenNhatTan]

Nguyên văn bởi sieuhack_vp

Bài này có lẽ xuất phát từ bài:

Tìm tất cả các bộ $(x,y) $ nguyên dương để $\frac{x^2 + y^2}{x-y} $ là ước của $2011 $

Lời giải vẫn dùng cái bổ đề ý.

Bài này là đề của Bulgary 1995 , chắc bạn chơi đổi lại cái đề 1995 thành 2010
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sieuhack_vp]

Nguyên văn bởi NguyenNhatTan

Bài này là đề của Bulgary 1995 , chắc bạn chơi đổi lại cái đề 1995 thành 2010

Uk tổng quát được mà. Tính chất như nhau thay như thế cho đẹp. Mà bài bạn evarist cũng làm thế mà
------------------------------

Nguyên văn bởi baocaosu

Gì mà sáng tạo bài toán bằng cách phức tạp vấn đề lên chẳng có gì là hay cả, cái số mũ kia chẳng có ý nghĩa gì cả.
------------------------------


Có lẽ bạn chưa hiểu hết, hai bài xuất phát từ bổ đề trên chứ bài 1 có xuất phát từ bài 2 đâu.

Uk, đúng rồi, chung ý tưởng thôi. Tớ dùng từ không đúng.

Cái tên nick của bạn không bị ban thì

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]