Topic về bất đẳng thức

[ohmymath]

Mọi người giúp em bài này với!!
Cho 3 số thực dương thay đổi a, b, c sao cho:
$$a + b + c = 3$ $
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A = {\left( {a + b + c} \right)^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {\frac{{1 + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}} \right) + \frac{{81}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + abc}}$ $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Nguyên văn bởi khaitang1234

1, Cho $a,b,c>0 $ và $abc=1 $
Chứng minh:
$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}} $

Ta chuyển về dạng đồng bậc:

$(a+b+c)^5\ge 81abc(a^2+b^2+c^2) $ (*)

Rõ ràng chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (*) với mọi a,b,c dương. Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min(a,b,c) $.
Ta có:

$8abc(a^2+b^2)\le c(a+b)^4 $

$8abc^3\le 2c^3(a+b)^2 $

Do vậy, chỉ cần chứng minh:

$8(a+b+c)^5\ge 81c(a+b)^2(2c^2+(a+b)^2) $ (1)

Đặt $a+b=2t $, chuẩn hoá $a+b+c=3 $ và thay $c=3-2t $ vào (1), ta dc:

$3\ge t^2(3-2t)((3-2t)^2+2t^2) $

Hay $4t^5-14t^4+18t^3-9t^2+1\ge 0 $

$\Leftrightarrow (t-1)^2(4t^3-6t^2+2t+1)\ge 0 $

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì $t\ge 1 $ (Do c nhỏ nhất).

Vậy ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi khaitang1234

1, Cho $a,b,c>0 $ và $abc=1 $
Chứng minh:
$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}} $
2, Cho $a,b,c>0 $ và $ab+bc+ca=1 $. Chứng minh:
$a+b+c\geq abc+2\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}} {3}} $

Xem lại hệ số bài 2 hộ mình với nhá, nếu hệ số như vậy thì dấu = xảy ra khi nào ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenNhatTan]

Nguyên văn bởi ohmymath

Mọi người giúp em bài này với!!
Cho 3 số thực dương thay đổi a, b, c sao cho:
$$a + b + c = 3$ $
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A = {\left( {a + b + c} \right)^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {\frac{{1 + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}} \right) + \frac{{81}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + abc}}$ $

Chú ý: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})= \sum{(a^{3}+2ab^{2})}+ \sum{a^{2}b} \geq 2 \sum{a^{2}b}+ \sum{a^{2}b}=3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a) \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi khaitang1234

2, Cho $a,b,c>0 $ và $ab+bc+ca=3 $. Chứng minh:
$a+b+c\geq abc+2\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}} {3}} $

Bất đăng thức tương đương :

$3(a+b+c-abc)^2 \ge 4(9-2abc(a+b+c)) $


Theo Schur bậc 4 ta có $r \ge \frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p} $ mặt khác hàm trên đồng biến theo r nên

$VT \ge 3\bigg(p-\frac{(12-p^2)(p^2-3)}{6p}\bigg)^2-4\bigg(9-2p\frac{(12-p^2)(p^2-3)}{6p}\bigg)=\frac{(p-3) (p-1) (p+1) (p+3) (p^2-12)^2}{12 p^2} \ge 0 $
đúng vì $p \ge 3 $
Vậy ta có điều phải chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magic.]

Nguyên văn bởi daylight

Bất đăng thức tương đương :

$3(a+b+c-abc)^2 \ge 4(9-2abc(a+b+c)) $


Theo Schur bậc 4 ta có $r \ge \frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p} $ mặt khác hàm trên đồng biến theo r nên

$VT \ge 3\bigg(p-\frac{(12-p^2)(p^2-3)}{6p}\bigg)^2-4\bigg(9-2p\frac{(12-p^2)(p^2-3)}{6p}\bigg)=\frac{(p-3) (p-1) (p+1) (p+3) (p^2-12)^2}{12 p^2} \ge 0 $
đúng vì $p \ge 3 $
Vậy ta có điều phải chứng minh

Đánh giá Schur bậc 3

$9r \ge p(4q-p^2)=p(12-p^2) $

cho nhẹ nhàng. ^^

Khi đó BĐT $\Lefttightarrow (a-9)(a-12)^2 \ge 0 $ đúng với $a=p^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Mọi ng giải giùm mình với,mình kém bđt lắm

Nguyên văn bởi disonline

Giúp em giải mấy bài này:
Cho $a;b;c>0 $ và $a+b+c=3 $
tìm min
$\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2} $

Cho a;b;c dương chứng minh rằng
$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 9(ab+bc+ca) $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi magic.

Đánh giá Schur bậc 3

$9r \ge p(4q-p^2)=p(12-p^2) $

cho nhẹ nhàng. ^^

Khi đó BĐT $\Lefttightarrow (a-9)(a-12)^2 \ge 0 $ đúng với $a=p^2 $

Hình như cậu phân tích sai rùi thì phải, trước khi làm với Schur bậc 4 tớ đã thử schur và nó ra như thế này :

$(p^2-12)(p^2-9)^2 $ chứ không phải là $(p^2-9)(p^2-12)^2 $

Nguyên văn bởi nvthanh1994

Mọi ng giải giùm mình với,mình kém bđt lắm

Bài dưới là APMO 2004 đó anh
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lan Phuog]

Nguyên văn bởi ronadomath

cho a,b,c>0 tma+b+c=3.cmr
$12(\sum \frac{1}{a})\geq 4(\sum a^3)+21 $

dấu = xay ra khi 2 số =0,5,số còn lại là 2

giả sử $c $ lớn nhất, $t=\frac{a+b}{2},t\in (0,1] $
Đặt $f(a,b,c)=VT-VP $
Dễ dàng có $f(a,b,c)\ge f(t,t,c) $ vì $(a+b)^2ab\le \frac{(a+b)^4}{4}\le 4 $
Lại có: $f(t,t,c)=3(2t-1)^2(\frac{1}{3-2t}+\frac{8}{t}+2t-30) $
Để cm $f(t,t,c)\ge 0 $ ta cm $g(t)=4t^3-26t^2+45t-24<0 $ với mọi $t\in (0,1] $
dễ dàng có $g(t) $ đồng biến nên $g(t)<g(1)=-1<0 $có đpcm!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trung65]

Nguyên văn bởi nvthanh1994

Mọi ng giải giùm mình với,mình kém bđt lắm

bài dưới
Sử dụng Cauchy-Swharz ta có
$(a^{2}+2)(1+\frac{(b+c)^{2}}{2})\geq (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)
$
chỉ cần chứng minh
$(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(1+\frac{(b+c)^{2}}{2}) $
$\Leftrightarrow (b-c)^{2}+2(bc-1)^{2}\geq 0 $ (đúng)
suy ra dpcm dấu bằng xảy ra khi và ck a=b=c=1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ha_94]

Bài bất đẳng thức lượng giác: chứng minh rằng: $\sum_{i=1}^{2010}2^{i-1}sin(x+\frac{i\pi }{3})\leq \frac{2^{2011}-2}{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khaitang1234]

Nguyên văn bởi Lan Phuog

giả sử $c $ lớn nhất, $t=\frac{a+b}{2},t\in (0,1] $
Đặt $f(a,b,c)=VT-VP $
Dễ dàng có $f(a,b,c)\ge f(t,t,c) $ vì $(a+b)^2ab\le \frac{(a+b)^4}{4}\le 4 $
Lại có: $f(t,t,c)=3(2t-1)^2(\frac{1}{3-2t}+\frac{8}{t}+2t-30) $
Để cm $f(t,t,c)\ge 0 $ ta cm $g(t)=4t^3-26t^2+45t-24<0 $ với mọi $t\in (0,1] $
dễ dàng có $g(t) $ nghịch biến nên $g(t)<g(0)=-1<0 $có đpcm!

$g(t) $ là hàm đồng biến khi $t\in (0,1] $; và $g(0)=-24 $.

bạn làm đứng rồi chỉ sửa mỗi chỗ đó thôi

------------------------------
Cho $a,b,c\geq0 $ thỏa mãn $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=2 $. Chứng minh:
$\frac{1-a^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1-b^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{1-c^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \frac{1}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lan Phuog]

Nguyên văn bởi khaitang1234

$g(t) $ là hàm đồng biến khi $t\in (0,1] $; và $g(0)=-24 $.

bạn làm đứng rồi chỉ sửa mỗi chỗ đó thôi

nhầm mất. phải là $g(t)\le g(1)=-1<0 $
------------------------------

Nguyên văn bởi khaitang1234

Cho $a,b,c\geq0 $ thỏa mãn $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=2 $. Chứng minh:
$\frac{1-a^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1-b^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{1-c^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \frac{1}{2} $

Có thể phân tích ra dạng chính tắc,nhưng k đẹp lắm:

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{3(a+b)(a+b+c)}{(b^2+c^2+bc)(c^2+a^2+ca)}-\frac{1}{a^2+b^2+ab})(a-b)^2\ge 0 $

đến đây nhờ mọi người giải tiếp nha!!!

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi khaitang1234

Cho $a,b,c\geq0 $ thỏa mãn $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=2 $. Chứng minh:
$\frac{1-a^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1-b^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{1-c^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \frac{1}{2} $

BDT này sai với a=b=c
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinamilk_love9]

Nguyên văn bởi daylight

BDT này sai với a=b=c

Nếu a=b=c thì a=b=c= căn bậc hai của (2/3)
Thay vào là biết có thoả không đó mà
máy e ứ gõ tex đc
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]