|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
07-02-2018, 03:46 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2017 Bài gởi: 3 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Một bài toán về dãy Lucas Cho số nguyên tố $p>3$ và dãy Lucas $\left\{L_n\right\}_{n=0}^{\infty}$, xác đinh bởi $L_0=2,\,L_1=1$ và \[{L_{n + 2}} = {L_{n + 1}} + {L_n}\quad\forall\,n\in\mathbb N. \] Chứng minh rằng $p\mid L_p-1.$ |
08-02-2018, 12:31 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2018 Bài gởi: 12 Thanks: 0 Thanked 3 Times in 3 Posts | Trích:
Theo khai triển Newton ta có $$(1 + \sqrt{5})^{n} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}\sqrt{5} + \binom{n}{2}\sqrt{5}^{2} + ... + \binom{n}{n-1}\sqrt{5}^{n-1} + \binom{n}{n}\sqrt{5}^{n}$$ Và đồng thời $$(1 - \sqrt{5})^{n} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}(-\sqrt{5}) + \binom{n}{2}(-\sqrt{5})^{2} + ... + \binom{n}{n-1}(-\sqrt{5})^{n-1} + \binom{n}{n}(-\sqrt{5})^{n}.$$Cộng 2 tổng trên thì các số mũ lẻ sẽ triệt tiêu nhau, các số mũ chẵn bằng nhau nên gấp đôi. Vậy: $$2^{n}L_{n} = 2\left( \binom{n}{0} + \binom{n}{2}(\sqrt{5})^{2} + \binom{n}{4}(\sqrt{5})^{4} + ... + \binom{n}{2\left \lfloor n/2 \right \rfloor}(\sqrt{5})^{2\left \lfloor n/2 \right \rfloor} \right).$$ Hay với $n > 0$ thì: $$2^{n-1}.L_{n} = \binom{n}{0} + \binom{n}{2}5 + \binom{n}{4}5^{2} + ... + \binom{n}{2\left \lfloor n/2 \right \rfloor}(5)^{\left \lfloor n/2 \right \rfloor} .$$Với $p$ nguyên tố lẻ ta có: $$2^{p-1}.L_{p} = \binom{p}{0} + \binom{p}{2}5 + \binom{p}{4}5^{2} + ... + \binom{p}{2\left \lfloor p/2 \right \rfloor}(5)^{\left \lfloor p/2 \right \rfloor} .$$ Với $0 < k < p$ thì $\dbinom{p}{k} = \dfrac{(p-k+1)(p-k+2)...(p)}{k!} $ luôn chia hết cho $p$ (do $p$ nguyên tố). Vậy $2^{p-1}.L_{p} \equiv 1 (mod p)$, mà theo định lý nhỏ Fermat cho ta $$2^{p-1} \equiv 1 (\mod p).$$ Kết hợp lại ta có điều phải chứng minh. thay đổi nội dung bởi: muaxl2xo, 08-02-2018 lúc 12:43 PM Lý do: k hien thi dc | |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|