Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 30-12-2023, 01:50 PM   #1
Thụy An
+Thành Viên+

 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 93
Thanks: 1
Thanked 68 Times in 45 Posts
Tập con của C[0;1]

Cho $S$ là một tập hợp mà mỗi phần tử của $S$ là một hàm liên tục trên $[0;\,1]$. Biết rằng cứ với $f,\, g$ thuộc $S$ thì $f+g$ và $fg$ cũng thuộc $S$, đồng thời cứ với mỗi $a$ thuộc $[0;\,1]$ lại có $f_a\in S$ để $f_a(a)\ne 0$. Chứng mình rằng tồn tại $f\in S$ thỏa mãn $f(x)>0$ với mọi $x$ thuộc $[0;\,1]$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-12-2023, 04:48 PM   #2
nmd2708
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2018
Bài gởi: 11
Thanks: 2
Thanked 0 Times in 0 Posts
Lâu lắm mới quay lại diễn đàn thầy ạ.

Chứng minh: Nhắc lại rằng với mỗi $a\in [0,1]$, $f_a$ là hàm liên tục thuộc $S$ thỏa mãn $f_a(a)\ne 0$. Do $f$ liên tục nên
$$U_a:=\{x\in [0,1]| f_a(x)\ne 0\}$$
khác rỗng (chứa $a$) và mở trong $[0,1]$. Do đó ta có $\displaystyle \cup_{a\in [0,1]}U_a=[0,1]$.

Giờ ta sử dụng tính compact của đoạn $[0,1]$, từ phủ mở trên ta có một phủ mở hữu hạn
$$[0,1]=\bigcup_{1\le i\le n}U_{a_i}$$
với $a_i\in [0,1]$, $1\le i\le n$. Từ đó ta xét
$$f=f_{a_1}^2+f_{a_2}^2+\ldots+f_{a_n}^2.$$
Do $f_{a_i}\in S$ nên $f_{a_i}^2\in S$ với mọi $1\le i\le n$. Từ đó $f\in S$ và $f$ là hàm cần tìm vì $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in [0,1]$ và
$$\{x\in [0,1]:f(x)=0\}=\{x\in [0,1]:f_{a_i}(x)=0 \forall 1\le i\le n\}=\bigcap_{1\le i\le n}U_{a_i}^c=\varnothing.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nmd2708 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:05 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 39.87 k/43.49 k (8.32%)]