Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tổ Hợp

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 25-01-2016, 09:43 PM   #1
Đỗ Minh Khoa
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2016
Bài gởi: 15
Thanks: 0
Thanked 4 Times in 2 Posts
Bàn cờ và số nguyên tố

Cho số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng, trên bàn cờ ô vuông $p^2\times p^2$ có thể chọn được $p^3$ ô vuông, sao cho không có 4 ô nào trong số đó có tâm là đỉnh của hình chữ nhật có cạnh song song với bàn cờ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Đỗ Minh Khoa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Đỗ Minh Khoa For This Useful Post:
namdung (26-01-2016)
Old 27-01-2016, 03:53 AM   #2
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trước hết, ta sẽ chứng minh rằng số các ô có thể chọn sẽ không vượt quá $p^3$.

Xét một cách chọn các ô trên bàn cờ thỏa mãn điều kiện.

Ta sẽ đếm số $S$ gồm các bộ $(A,B,C)$ mà hai cột $A,B$ và hàng $C$ giao nhau tại hai ô được chọn. Ta sẽ đếm đại lượng này bằng 2 cách:

(1) Đếm theo hai cột $A,B$:
Số cách chọn hai cột như vậy là $C^2_{p^2}$ và rõ ràng có không quá một hàng $C$ tương ứng cắt 2 cột tại hai ô được chọn (theo giả thiết) nên $S \le C^2_{p^2}$.

(2) Đếm theo hàng:
Gọi $x_i$ là số ô được chọn ở hàng thứ $i$, suy ra số các cặp $2$ ô được chọn cùng một hàng là $$S=\sum_{i=1}^{p^2}C^2_{x_i}.$$
Gọi $k$ là số lượng lớn nhất các ô có thể chọn thì $\sum_{i=1}^{p^2} x_i = k$.

Dễ thấy hàm $f(x)=C^2_x$ "lồi" (được hiểu là $f(2x)+f(2y) \ge 2f(x+y)$) nên ta chứng minh được $$S = \sum_{i=1}^{p^2} C^2_{x_i} \ge \frac{1}{2}(\frac{k^2}{p^2}-k) .$$ Từ đó suy ra: $$C^2_{p^2} \ge \frac{1}{2}(\frac{k^2}{p^2}-k)$$ Giải BPT này ra, ta được $2k \le p^2+p^2\sqrt{4p^2-3}$. Dễ chứng minh được rằng với $p \ge 1$ thì $1+\sqrt{4p^2-3} \ge 2p$ nên $$2k \ge p^2 \cdot 2p = 2p^3$$ và ta có đpcm.

Ở lời giải trên, tính nguyên tố của $p$ không được sử dụng. Tuy nhiên, khi chỉ ra các ô thỏa mãn, ta cần sử dụng các lớp thặng dư và nghiệm của hệ phương trình đồng dư và $p$ nguyên tố sẽ giúp cho lời giải sáng sủa hơn. Mọi người thử xem nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:17 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.97 k/45.71 k (8.16%)]