|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
15-09-2018, 12:48 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 303 Thanks: 129 Thanked 130 Times in 81 Posts | Bài bđt THCS Cho các số thực dương a,b,c.CMR $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a +b}\geq \frac{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2} $ __________________ |
15-09-2018, 01:33 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2012 Bài gởi: 4 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Theo Cauchy-Schwarz có\[\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + c}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \frac{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2}}{{{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)}}.\]Giờ ta đi chứng minh\[\frac{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2}}{{{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{2}.\]Đặt $a^2+b^2+c^2=T,\;a+b+c=S$, ta có\[3T = {S^2} + {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge {S^2}.\]Đồng thời có biến đổi sau\[{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right) = ST - \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right).\]Mặt khác theo Cauchy-Schwarz thì\[S\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} = {T^2} \ge \frac{1}{3}T{S^2}.\]Từ đó mà có được\[{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right) \le ST - \frac{1}{3}ST = \frac{2}{3}ST.\]Vì thế ta có được\[\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + c}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \frac{{{T^2}}}{{\frac{2}{3}ST}} = \frac{{\sqrt {3T} }}{2}\sqrt {\frac{{3T}}{{{S^2}}}} \ge \frac{{\sqrt {3T} }}{2}.\] |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|