Một số bài thi học sinh giỏi vòng 2 TP Hà Nội

thangk50 · 28-10-2010, 08:32 PM

đây là một số bài toán đại số [Only registered and activated users can see links. ]

**novae** · 28-10-2010, 09:06 PM

Bài 1:
Cho các số $a,b,c,d $ là các số nguyên dương và số nguyên tố $p $ sao cho $a^p+b^p=c^p+d^p $.
CMR $|a-c|+|b-d|\ge p $

Bài 2:
Giải phương trình $2x^2\sin x+x\cos x+\sqrt[3]{2x+1}=x^3-x^5+x+1 $

Bài 3:
Cho phương trình $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+\cdots+\frac{1}{n(x +n)}=\frac{3}{4} $

CMR phương trình luôn có một nghiệm dương duy nhất.
Ứng với mỗi giá trị của $n $ gọi nghiệm dương của phương trình là $x_n $. Tìm $\lim x_n $

Bài 4:
Cho dãy số $u_n=\frac{1}{2^n} $.
CMR $\dfrac{(u_1-1)(u_2-1)\cdots (u_n-1)(u_1+u_1+\cdots+u_n)}{[1-(u_1+u_1+\cdots+u_n)]u_1 u_2 \cdots u_n}> 2010^{2011} $

Bài 5:
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix} x^2+4xy+6y^2=2 \\ 6y^2+8xz+z^2=1 \end{matrix}\right. $
Tìm $\max P=xy+yz+zx $

th2091 · 28-10-2010, 09:50 PM

Bài 1: Cho các số a, b, c, d là các số nguyên dương và số nguyên tố p sao cho
$a^p+b^p=c^p+d^p $
Cmr $ \mid a-c \mid + \mid b-d \mid \ge p $
Bài 2: Giải phương trình
$2x^{2}sinx+xcosx+\sqrt[3]{2x+1}=x^3 – x^5 + x + 1 $
Bài 3: Cho phương trình
$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+…+\frac{1}{n(x+n) }=\frac{3}{4} $
a/ Chứng minh phương trình luôn có 1 nghiệm dương duy nhất.
b/ Ứng với mỗi n phương trình có 1 nghiệm dương là $x_n $. Tìm $limx_n $.
Bài 5: Cho dãy số $u_n=\frac{1}{2^n} $
CM: $\frac{(u_1-1)(u_2-1)…(u_n-1)(u_1+u_2+…+u_n)}{[1-(u_1+u_2+…+u_n)]u_1u_2…u_n} > 2010^{2011} $
Bài 6: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn:
$\begin{cases}x^2+4xy+6y^2=2\\6y^2+8xz+3z^2=1\end{c ases} $
Tìm giá trị lớn nhất của $P=xy+yz+zx $

leviethai · 28-10-2010, 10:07 PM

Trích:

Nguyên văn bởi th2091

Bài 1: Cho các số a, b, c, d là các số nguyên dương và số nguyên tố p sao cho
$a^p+b^p=c^p+d^p $
Cmr $ \mid a-c \mid + \mid b-d \mid \ge p $
Bài 2: Giải phương trình
$2x^{2}sinx+xcosx+\sqrt[3]{2x+1}=x^3 – x^5 + x + 1 $
Bài 3: Cho phương trình
$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+…+\frac{1}{n(x+n) }=\frac{3}{4} $
a/ Chứng minh phương trình luôn có 1 nghiệm dương duy nhất.
b/ Ứng với mỗi n phương trình có 1 nghiệm dương là $x_n $. Tìm $limx_n $.
Bài 5: Cho dãy số $u_n=\frac{1}{2^n} $
CM: $\frac{(u_1-1)(u_2-1)…(u_n-1)(u_1+u_2+…+u_n)}{[1-(u_1+u_2+…+u_n)]u_1u_2…u_n} > 2010^{2011} $
Bài 6: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn:
$\begin{cases}x^2+4xy+6y^2=2\\6y^2+8xz+3z^2=1\end{c ases} $
Tìm giá trị lớn nhất của $P=xy+yz+zx $

Đề bài câu 1) và câu 4) có vấn đề

Câu 1) Chỉ cần cho $a=c $, $b=d $ là thấy sai.

Câu 4) Đại lượng bên trái âm khi $n $ là số lẻ, nên không có bất đẳng thức trên.

Xin giải câu cực trị trước. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có
$\displaystyle \begin{aligned}2 = ({x^2} + 4xy + 6{y^2})(6{y^2} + 8yz + 3{z^2})&= \left[ {{{\left( {y\sqrt 6 + \frac{{2x}}{{\sqrt 6 }}} \right)}^2} + \frac{{{x^2}}}{3}} \right]\left[ {\frac{{{z^2}}}{3} + {{\left( {y\sqrt 6 + \frac{{4z}}{{\sqrt 6 }}} \right)}^2}} \right]\\&\ge {\left[ {\frac{z}{{\sqrt 3 }}\left( {y\sqrt 6 + \frac{{2x}}{{\sqrt 6 }}} \right) + \frac{x}{{\sqrt 3 }}\left( {y\sqrt 6 + \frac{{4z}}{{\sqrt 6 }}} \right)} \right]^2}\\&= 2{\left( {xy + yz + zx} \right)^2}\end{aligned} $

Suy ra $P\le 1 $. Dựa vào điều kiện để dấu bằng xảy ra của bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta dễ dàng tìm được $x,y,z $ để $P=1 $. Vậy $MaxP=1 $

TKmathTKmath · 28-10-2010, 10:33 PM

Câu số 4 theo mình n=2010 thì mới đúng. Khi đó đặt
$A_i=\frac{u_i}{1-u_i}>0, i=1,2...,2010. $ và đặt $A_{2011}=\frac{1-(a_1+...+a_{2010})}{a_1+...+a_{2010}} >0 $
Từ đó $\sum{\frac{1}{A_i+1}} =2010 $
Suy ra
$\frac{1}{A_1+1}=1-\frac{1}{A_2+1} + ... + 1- \frac{1}{A_{2011}+1} = \frac{A_2}{A_2+1}+...+\frac{A_{2011}}{A_{2011}+1} \ge 2010 \sqrt[2010]{\frac{A_2A_3...A_{2011}}{(1+A_2)(1+A_3)...(1+A_{2 011})}} $
Tương tự và nhân các BĐT lại ta được:
$A_1A_2...A_{2011} \le \frac{1}{2010^{2011}} $
Từ đó suy ra đpcm.

**batigoal** · 30-10-2010, 10:22 PM

Bài 2 và bài 3 không có bạn nào giải à?

cuthangbo · 31-10-2010, 09:55 AM

Trích:

Nguyên văn bởi leviethai

Xin giải câu cực trị trước. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có
$\displaystyle \begin{aligned}2 = ({x^2} + 4xy + 6{y^2})(6{y^2} + 8yz + 3{z^2})&= \left[ {{{\left( {y\sqrt 6 + \frac{{2x}}{{\sqrt 6 }}} \right)}^2} + \frac{{{x^2}}}{3}} \right]\left[ {\frac{{{z^2}}}{3} + {{\left( {y\sqrt 6 + \frac{{4z}}{{\sqrt 6 }}} \right)}^2}} \right]\\&\ge {\left[ {\frac{z}{{\sqrt 3 }}\left( {y\sqrt 6 + \frac{{2x}}{{\sqrt 6 }}} \right) + \frac{x}{{\sqrt 3 }}\left( {y\sqrt 6 + \frac{{4z}}{{\sqrt 6 }}} \right)} \right]^2}\\&= 2{\left( {xy + yz + zx} \right)^2}\end{aligned} $

Suy ra $P\le 1 $. Dựa vào điều kiện để dấu bằng xảy ra của bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta dễ dàng tìm được $x,y,z $ để $P=1 $. Vậy $MaxP=1 $

Cái này làm sao mà biết dấu = xảy ra khi nào mà biết cách phân tích như vậy?

anhkhoa_nt · 31-10-2010, 10:21 AM

Bài 3: Đặt $f_n(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+...+\frac{1} {n(x+n)}-\frac{3}{4} $
(1) Ta thấy với mọi $n\in N^* $, hàm số $f_n(x) $ liên tục và nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty) $. Hơn nữa, ta có $f_n(0)>\frac{1}{4} $ và $f_n(x)\rightarrow -\frac{3}{4} $ khi $x\rightarrow +\infty $. Từ đó suy ra với mọi $n\in N^* $, pt (1) có nghiệm duy nhất $x_n>0 $.
2) Với mỗi $n\in N^* $, ta có:
$f_n(2)=-\frac{3}{4}+\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+...+\frac{ 1}{n(n+2)}=-\frac{1}{2}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})<0=f_n(x_n ) $.
Từ đó do hàm $f_n(x) $ nghịch biến trên $(0;+\infty) $, suy ra $x_n<2 $ với mọi $n\in N^* $.
Vì $f_n(x) $ khả vi trên đoạn $[x_n;2] $ nên theo Lagrance tồn tại $t \in(x_n;2) $ sao cho:
$\frac{f_n(2)-f_n(x_n)}{2-x_n}=f'_n(t)=-\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{2(x+2)^2}-...-\frac{1}{n(x+n)^2}<-\frac{1}{9} $ với $n\in N^* $.
Suy ra $\frac{-\frac{1}{2}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})}{2-x_n}<-\frac{1}{9} $
$\Rightarrow x_n>2-\frac{9}{2}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}) $
Từ đó ta được $2>x_n>2-\frac{9}{2}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}) $
$\Rightarrow \lim x_n=2 $

bachzealot · 31-10-2010, 10:30 AM

Ai post nốt bài Hình cho bọn tớ xem với

thangk50 · 01-11-2010, 03:20 PM

đây là đề thi đầy đủ đánh bằng latex

28-10-2010, 08:32 PM	#1
thangk50 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Bài gởi: 73 Thanks: 7 Thanked 28 Times in 16 Posts	Một số bài thi học sinh giỏi vòng 2 TP Hà Nội đây là một số bài toán đại số [Only registered and activated users can see links. ]

28-10-2010, 09:06 PM	#2
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	Bài 1: Cho các số $a,b,c,d $ là các số nguyên dương và số nguyên tố $p $ sao cho $a^p+b^p=c^p+d^p $. CMR $\|a-c\|+\|b-d\|\ge p $ Bài 2: Giải phương trình $2x^2\sin x+x\cos x+\sqrt[3]{2x+1}=x^3-x^5+x+1 $ Bài 3: Cho phương trình $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+\cdots+\frac{1}{n(x +n)}=\frac{3}{4} $ CMR phương trình luôn có một nghiệm dương duy nhất. Ứng với mỗi giá trị của $n $ gọi nghiệm dương của phương trình là $x_n $. Tìm $\lim x_n $ Bài 4: Cho dãy số $u_n=\frac{1}{2^n} $. CMR $\dfrac{(u_1-1)(u_2-1)\cdots (u_n-1)(u_1+u_1+\cdots+u_n)}{[1-(u_1+u_1+\cdots+u_n)]u_1 u_2 \cdots u_n}> 2010^{2011} $ Bài 5: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^2+4xy+6y^2=2 \\ 6y^2+8xz+z^2=1 \end{matrix}\right. $ Tìm $\max P=xy+yz+zx $ __________________ M. thay đổi nội dung bởi: novae, 28-10-2010 lúc 09:58 PM

28-10-2010, 10:33 PM	#5
TKmathTKmath +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Đến từ: Cherry-blossoms Bài gởi: 25 Thanks: 10 Thanked 7 Times in 5 Posts	Câu số 4 theo mình n=2010 thì mới đúng. Khi đó đặt $A_i=\frac{u_i}{1-u_i}>0, i=1,2...,2010. $ và đặt $A_{2011}=\frac{1-(a_1+...+a_{2010})}{a_1+...+a_{2010}} >0 $ Từ đó $\sum{\frac{1}{A_i+1}} =2010 $ Suy ra $\frac{1}{A_1+1}=1-\frac{1}{A_2+1} + ... + 1- \frac{1}{A_{2011}+1} = \frac{A_2}{A_2+1}+...+\frac{A_{2011}}{A_{2011}+1} \ge 2010 \sqrt[2010]{\frac{A_2A_3...A_{2011}}{(1+A_2)(1+A_3)...(1+A_{2 011})}} $ Tương tự và nhân các BĐT lại ta được: $A_1A_2...A_{2011} \le \frac{1}{2010^{2011}} $ Từ đó suy ra đpcm. __________________ Tôi cố định trong sân trường đơn điệu, Lặng nhìn trên hình chiếu của giai nhân, Thả hồn theo một tiếp tuyến thật gần, Theo em mãi suốt đời về vô cực

31-10-2010, 10:21 AM	#8
anhkhoa_nt +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Bài gởi: 17 Thanks: 102 Thanked 20 Times in 10 Posts	Bài 3: Đặt $f_n(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+...+\frac{1} {n(x+n)}-\frac{3}{4} $ (1) Ta thấy với mọi $n\in N^* $, hàm số $f_n(x) $ liên tục và nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty) $. Hơn nữa, ta có $f_n(0)>\frac{1}{4} $ và $f_n(x)\rightarrow -\frac{3}{4} $ khi $x\rightarrow +\infty $. Từ đó suy ra với mọi $n\in N^* $, pt (1) có nghiệm duy nhất $x_n>0 $. 2) Với mỗi $n\in N^* $, ta có: $f_n(2)=-\frac{3}{4}+\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+...+\frac{ 1}{n(n+2)}=-\frac{1}{2}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})<0=f_n(x_n ) $. Từ đó do hàm $f_n(x) $ nghịch biến trên $(0;+\infty) $, suy ra $x_n<2 $ với mọi $n\in N^* $. Vì $f_n(x) $ khả vi trên đoạn $[x_n;2] $ nên theo Lagrance tồn tại $t \in(x_n;2) $ sao cho: $\frac{f_n(2)-f_n(x_n)}{2-x_n}=f'_n(t)=-\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{2(x+2)^2}-...-\frac{1}{n(x+n)^2}<-\frac{1}{9} $ với $n\in N^* $. Suy ra $\frac{-\frac{1}{2}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})}{2-x_n}<-\frac{1}{9} $ $\Rightarrow x_n>2-\frac{9}{2}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}) $ Từ đó ta được $2>x_n>2-\frac{9}{2}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}) $ $\Rightarrow \lim x_n=2 $ thay đổi nội dung bởi: novae, 31-10-2010 lúc 10:23 AM

28-10-2010, 09:50 PM	#3
th2091 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: THPT Kiến Thụy-Hải Phòng Bài gởi: 140 Thanks: 39 Thanked 92 Times in 58 Posts	Bài 1: Cho các số a, b, c, d là các số nguyên dương và số nguyên tố p sao cho $a^p+b^p=c^p+d^p $ Cmr $ \mid a-c \mid + \mid b-d \mid \ge p $ Bài 2: Giải phương trình $2x^{2}sinx+xcosx+\sqrt[3]{2x+1}=x^3 – x^5 + x + 1 $ Bài 3: Cho phương trình $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+…+\frac{1}{n(x+n) }=\frac{3}{4} $ a/ Chứng minh phương trình luôn có 1 nghiệm dương duy nhất. b/ Ứng với mỗi n phương trình có 1 nghiệm dương là $x_n $. Tìm $limx_n $. Bài 5: Cho dãy số $u_n=\frac{1}{2^n} $ CM: $\frac{(u_1-1)(u_2-1)…(u_n-1)(u_1+u_2+…+u_n)}{[1-(u_1+u_2+…+u_n)]u_1u_2…u_n} > 2010^{2011} $ Bài 6: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: $\begin{cases}x^2+4xy+6y^2=2\\6y^2+8xz+3z^2=1\end{c ases} $ Tìm giá trị lớn nhất của $P=xy+yz+zx $

30-10-2010, 10:22 PM	#6
batigoal Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts	Bài 2 và bài 3 không có bạn nào giải à?

31-10-2010, 10:30 AM	#9
bachzealot +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Bài gởi: 4 Thanks: 15 Thanked 0 Times in 0 Posts	Ai post nốt bài Hình cho bọn tớ xem với