|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
06-07-2012, 10:18 PM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club) Bài gởi: 1,058 Thanks: 937 Thanked 1,249 Times in 433 Posts | Phương trình lượng giác bậc cao Giải phương trình $$81\sin^{10} x + \cos^{10} x =\dfrac{81}{256}$$ Cảm ơn các bạn. |
06-07-2012, 10:31 PM | #2 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2011 Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai Bài gởi: 862 Thanks: 206 Thanked 503 Times in 295 Posts | Trích:
Cân bằng hệ số sẽ được như sau: Đặt $\sin^2x=a, \cos^2x=b$ Suy ra: $$\begin{cases}a+b=1; a, b>0 \\ 81a^5+b^5=\dfrac{81}{256}\end{cases}$$ Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $$a^5 + 4.\dfrac{1}{4^5} \ge 5.\dfrac{a}{4^4}$$ $$b^5+4.\dfrac{3^5}{4^5} \ge 5.\dfrac{3^4b}{4^4}$$ Từ đó cộng lại thì $81a^5+b^5\ge \dfrac{81}{256}$ Do đó dấu bằng xảy ra: khi $a=\dfrac{1}{4}, b = \dfrac{3}{4}$ __________________ You've set my heart soaring Ma đáng yêu | |
06-07-2012, 10:32 PM | #3 |
+Thành Viên+ | |
06-07-2012, 10:45 PM | #4 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: Heaven Bài gởi: 579 Thanks: 10 Thanked 513 Times in 283 Posts | Tư tưởng là sử dụng bất đẳng thức,cách đơn giản nhất là dùng phép thế để quy về hàm một biến. Đặt $ t= \sin^2 x,n= \cos^2 x $ ta có hệ: $$ \begin{cases} t+n=1 \\ 81t^5+n^5=\frac{81}{256} \end{cases} $$ Thay $ n=1-t $,ta sẽ chứng minh: $$ 80t^5+5t^4-10t^3+10t^2-5t+\frac{175}{256} \ge 0 $$ Xét $ f'(t)=400t^4+20t^3-30t^2+20t-5=20(4t-1)(2t+1)(20t^2-4t+2) $ Do $ t>0 $ nên dấu của $ f'(t) $ phụ thuộc vào biểu thức $ 4t-1 $ Lập bảng biến thiên ta có $ f'(t) $ min tại $ t=\dfrac{1}{4} $ thay đổi nội dung bởi: Snow Bell, 06-07-2012 lúc 11:07 PM |
06-07-2012, 10:54 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts | Dùng pp hệ số bất định, ta tìm đc các hệ số cho BĐT sau! $3^4\sin^{10}{x}+4.\frac{3^4}{4^5}\ge 5\frac{3^4}{4^4}\sin^2{x}, $ Như vậy $VT\ge 5\frac{3^4}{4^4}-4\frac{3^4+3^5}{4^5}=\frac{81}{256} = VP. $$\cos^{10}{x}+4.\frac{3^5}{4^5}\ge 5\frac{3^4}{4^4}\cos^2{x}. $ Chuyện hậu sự, bạn giải quyết nốt nhen! |
09-07-2012, 08:01 AM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2011 Bài gởi: 6 Thanks: 1 Thanked 3 Times in 2 Posts | Trích:
Đặt $y = sin^{2}x $, suy ra $cos^{2}x = 1-y$$( 0 \leqslant y \leqslant 1$ $81{y^5} + {\left( {1 - y} \right)^5} - \frac{{81}}{{256}} = 0$ Xét $f(y) =81{y^5} + {\left( {1 - y} \right)^5} - \frac{{81}}{{256}} $ trên $\left[ {0;1} \right]$ $f'\left( y \right) = 405{y^4} - 5{\left( {1 - y} \right)^4}$ $f'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow 81{y^4} = {\left( {1 - y} \right)^4} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} y = \frac{1}{4}\left( n \right) \\ y = - \frac{1}{6}\left( l \right) \\ \end{gathered} \right.$ ... $ \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ | |
09-07-2012, 09:41 AM | #7 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Bài gởi: 12 Thanks: 83 Thanked 4 Times in 3 Posts | PP hệ số bất định? Trích:
| |
09-07-2012, 09:58 AM | #8 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts | Trích:
Có thể mình nhầm mà phải gọi là Cauchy có trọng số. $3^4\sin^{10}{x}+4.\alpha\ge 5\sqrt[5]{(3\alpha)^4}\sin^2{x}, $ $\cos^{10}{x}+4.\beta\ge 4.\alpha\ge 5\sqrt[5]{\beta^4}\cos^2{x}. $ Ta cần ràng buộc các điều kiện sau: $\begin{cases}\sqrt[5]{\beta^4}=\sqrt[5]{(3\alpha)^4},\\ \cos^{10}{x}=\alpha,\\ \cos^{10}{x}=\beta.\end{cases} $ Từ đó, tìm được $\alpha, \beta. $ thay đổi nội dung bởi: Galois_vn, 09-07-2012 lúc 10:05 AM Lý do: Tự động gộp bài | |
The Following User Says Thank You to Galois_vn For This Useful Post: | L Ha (19-07-2012) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|