Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 06-07-2012, 10:18 PM   #1
TrauBo
Moderator
 
TrauBo's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club)
Bài gởi: 1,058
Thanks: 937
Thanked 1,249 Times in 433 Posts
Phương trình lượng giác bậc cao

Giải phương trình $$81\sin^{10} x + \cos^{10} x =\dfrac{81}{256}$$
Cảm ơn các bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
TrauBo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-07-2012, 10:31 PM   #2
thephuong
+Thành Viên Danh Dự+
 
thephuong's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2011
Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai
Bài gởi: 862
Thanks: 206
Thanked 503 Times in 295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi TrauBo View Post
Giải phương trình $$81\sin^{10} x + \cos^{10} x =\dfrac{81}{256}$$
Cảm ơn các bạn.
Bài này ý tưởng BĐT thôi
Cân bằng hệ số sẽ được như sau:
Đặt $\sin^2x=a, \cos^2x=b$
Suy ra: $$\begin{cases}a+b=1; a, b>0 \\ 81a^5+b^5=\dfrac{81}{256}\end{cases}$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$$a^5 + 4.\dfrac{1}{4^5} \ge 5.\dfrac{a}{4^4}$$
$$b^5+4.\dfrac{3^5}{4^5} \ge 5.\dfrac{3^4b}{4^4}$$
Từ đó cộng lại thì $81a^5+b^5\ge \dfrac{81}{256}$
Do đó dấu bằng xảy ra: khi $a=\dfrac{1}{4}, b = \dfrac{3}{4}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
You've set my heart soaring
Ma đáng yêu
thephuong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to thephuong For This Useful Post:
L Ha (09-07-2012), TrauBo (06-07-2012)
Old 06-07-2012, 10:32 PM   #3
Akira Vinh HD
+Thành Viên+
 
Akira Vinh HD's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: Hải Dương
Bài gởi: 119
Thanks: 1,353
Thanked 76 Times in 52 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Akira Vinh HD
Trích:
Nguyên văn bởi TrauBo View Post
Giải phương trình $$81\sin^{10} x + \cos^{10} x =\dfrac{81}{256}$$
Cảm ơn các bạn.
Holder:
$(81\sin^{10}x+\cos^{10}x)(\frac{1}{3}+1)^4\geq (\sin^2x+\cos^2x)^5=1 $
$\rightarrow 81\sin^{10}x+\cos^{10}x\geq \frac{81}{256} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Akira Vinh HD is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Akira Vinh HD For This Useful Post:
L Ha (09-07-2012), TrauBo (06-07-2012)
Old 06-07-2012, 10:45 PM   #4
Snow Bell
+Thành Viên Danh Dự+
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 579
Thanks: 10
Thanked 513 Times in 283 Posts
Tư tưởng là sử dụng bất đẳng thức,cách đơn giản nhất là dùng phép thế để quy về hàm một biến.
Đặt $ t= \sin^2 x,n= \cos^2 x $ ta có hệ:
$$ \begin{cases} t+n=1 \\ 81t^5+n^5=\frac{81}{256} \end{cases} $$
Thay $ n=1-t $,ta sẽ chứng minh:
$$ 80t^5+5t^4-10t^3+10t^2-5t+\frac{175}{256} \ge 0 $$
Xét $ f'(t)=400t^4+20t^3-30t^2+20t-5=20(4t-1)(2t+1)(20t^2-4t+2) $
Do $ t>0 $ nên dấu của $ f'(t) $ phụ thuộc vào biểu thức $ 4t-1 $
Lập bảng biến thiên ta có $ f'(t) $ min tại $ t=\dfrac{1}{4} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Snow Bell, 06-07-2012 lúc 11:07 PM
Snow Bell is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Snow Bell For This Useful Post:
L Ha (09-07-2012), TrauBo (06-07-2012)
Old 06-07-2012, 10:54 PM   #5
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
Dùng pp hệ số bất định, ta tìm đc các hệ số cho BĐT sau!

$3^4\sin^{10}{x}+4.\frac{3^4}{4^5}\ge 5\frac{3^4}{4^4}\sin^2{x}, $

$\cos^{10}{x}+4.\frac{3^5}{4^5}\ge 5\frac{3^4}{4^4}\cos^2{x}. $
Như vậy $VT\ge 5\frac{3^4}{4^4}-4\frac{3^4+3^5}{4^5}=\frac{81}{256} = VP. $

Chuyện hậu sự, bạn giải quyết nốt nhen!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Galois_vn For This Useful Post:
L Ha (09-07-2012), TrauBo (06-07-2012)
Old 09-07-2012, 08:01 AM   #6
huy_possible
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Bài gởi: 6
Thanks: 1
Thanked 3 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi TrauBo View Post
Giải phương trình $$81\sin^{10} x + \cos^{10} x =\dfrac{81}{256}$$
Cảm ơn các bạn.
Cách khác cho bài này :
Đặt $y = sin^{2}x $, suy ra $cos^{2}x = 1-y$$( 0 \leqslant y \leqslant 1$
$81{y^5} + {\left( {1 - y} \right)^5} - \frac{{81}}{{256}} = 0$
Xét $f(y) =81{y^5} + {\left( {1 - y} \right)^5} - \frac{{81}}{{256}} $ trên $\left[ {0;1} \right]$
$f'\left( y \right) = 405{y^4} - 5{\left( {1 - y} \right)^4}$

$f'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow 81{y^4} = {\left( {1 - y} \right)^4} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
y = \frac{1}{4}\left( n \right) \\
y = - \frac{1}{6}\left( l \right) \\
\end{gathered} \right.$
...
$ \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
huy_possible is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huy_possible For This Useful Post:
L Ha (09-07-2012), TrauBo (09-07-2012)
Old 09-07-2012, 09:41 AM   #7
L Ha
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 12
Thanks: 83
Thanked 4 Times in 3 Posts
PP hệ số bất định?

Trích:
Nguyên văn bởi Galois_vn View Post
Dùng pp hệ số bất định, ta tìm đc các hệ số cho BĐT sau!

$3^4\sin^{10}{x}+4.\frac{3^4}{4^5}\ge 5\frac{3^4}{4^4}\sin^2{x}, $

$\cos^{10}{x}+4.\frac{3^5}{4^5}\ge 5\frac{3^4}{4^4}\cos^2{x}. $
Như vậy $VT\ge 5\frac{3^4}{4^4}-4\frac{3^4+3^5}{4^5}=\frac{81}{256} = VP. $

Chuyện hậu sự, bạn giải quyết nốt nhen!
Phương pháp hệ số bất định đầy đủ là sao vậy? Có thể nói cho mình hoặc cho mình xin tài liệu đc không? Lâu rồi không nghiên cứu gì, lạc hậu quá!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
L Ha is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-07-2012, 09:58 AM   #8
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi L Ha View Post
Phương pháp hệ số bất định đầy đủ là sao vậy? Có thể nói cho mình hoặc cho mình xin tài liệu đc không? Lâu rồi không nghiên cứu gì, lạc hậu quá!

Có thể mình nhầm mà phải gọi là Cauchy có trọng số.

$3^4\sin^{10}{x}+4.\alpha\ge 5\sqrt[5]{(3\alpha)^4}\sin^2{x}, $

$\cos^{10}{x}+4.\beta\ge 4.\alpha\ge 5\sqrt[5]{\beta^4}\cos^2{x}. $



Ta cần ràng buộc các điều kiện sau:

$\begin{cases}\sqrt[5]{\beta^4}=\sqrt[5]{(3\alpha)^4},\\ \cos^{10}{x}=\alpha,\\ \cos^{10}{x}=\beta.\end{cases} $

Từ đó, tìm được $\alpha, \beta. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Galois_vn, 09-07-2012 lúc 10:05 AM Lý do: Tự động gộp bài
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Galois_vn For This Useful Post:
L Ha (19-07-2012)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:08 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 70.10 k/79.62 k (11.96%)]