Biến đổi bộ số thực
 

Với mỗi bộ số thực $\left( {{x_1};\,{x_2};\, \ldots ;\,{x_n}} \right)$, ta xét phép biến đổi "mịn" là phép biến đổi đưa bộ $\left( {{x_1};\,{x_2};\, \ldots ;\,{x_n}} \right)$ đó thành bộ $\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\,\dfrac{{{x_2} + {x_3}}}{2};\, \ldots ;\,\dfrac{{{x_{n - 1}} + {x_n}}}{2};\,\dfrac{{{x_n} + {x_1}}}{2}} \right)$. Cho trước một bộ số thực $\left( {{a_1};\,{a_2};\, \ldots ;\,{a_n}} \right)$, chứng minh rằng sau một hữu hạn lần thực hiện phép biến đổi "mịn" ta sẽ có được một bộ $\left( {{A_1};\,{A_2};\, \ldots ;\,{A_n}} \right)$ thỏa\[\left| {{A_i} - {A_j}} \right| < \frac{1}{{{2^{2015}}}}\;\forall \,1 \le i < j \le n\]

Đặt $S_k$ bằng tổng bình phương của tất cả các số của bộ số sau $k$ phép biến đổi. Tức là nếu
$$S_k=a_1^2+a_2^2+....+a_n^2,$$
Thì
$$S_{k+1}=(\frac{a_1+a_2}{2})^2+(\frac{a_2+a_3}{2} )^2+...+(\frac{a_1+a_n}{2})^2.$$
Từ đây ta dễ dàng có
$$S_k-S_{k+1}=\frac{1}{4}[(a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+...+(a_n-a_1)^2].$$
Hay $(S_n)_n$ là một dãy số không tăng, ngoài ra nó cũng bị chặn nên hội tụ. Tức là với mọi $k\in\mathbb{N}^*$ luôn tồn tại $m\in\mathbb{N}^*$ sao cho $S_m-S_{m+1}\leq\dfrac{1}{2^k}$. Giả sử bộ số sau $m$ bước biến đổi là $(A_1,A_2,...,A_n)$. Khi đó ta có
$$\frac{1}{4}[(A_1-A_2)^2+(A_2-A_3)^2+...+(A_n-A_1)^2]\leq\frac{1}{2^k}.$$
Hay
$$(A_i-A_{i+1})^2\leq\frac{1}{2^{k-2}},\forall i.$$
Chọn $k=4034$ thì ta có điều phải chứng minh.