Bổ đề tiếp tuyến trong đồng dư đa thức Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $m$ là số nguyên dương, $x$ là số nguyên thỏa $x \equiv a\pmod m$, chứng tỏ rằng \[P(x) \equiv P(a) + (x - a)P'(a)\pmod{m^2}.\] |
Bổ đề này em có thể chứng minh bằng các kết quả sau: Với mọi đa thức nguyên $P(x)$ và $a\ne b$ nguyên thì $a-b|P(a)-P(b)$. Nếu $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ và $k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thì $\frac{{{P}^{(k)}}({{x}_{0}})}{k!}\in \mathbb{Z}$ với mọi ${{x}_{0}}\in \mathbb{Z}$ (do tích của $k$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $k!$, mà đạo hàm cấp $k$ thì chứa các tích đó). Khai triển Taylor của đa thức tại $x={{x}_{0}}$: \[P(x)=P({{x}_{0}})+\frac{{P}'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+\frac{{P}''({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots +\frac{{{P}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}.\] Từ những điều trên, xét $x=a+pt$ với $t\in \mathbb{Z}$ thì dễ dàng có \[P(x)\equiv P({{x}_{0}})+{P}'({{x}_{0}})pt+\underbrace{{P}''({ {x}_{0}}){{(pt)}^{2}}+\cdots }_{\vdots {{p}^{2}}}\equiv P({{x}_{0}})+{P}'({{x}_{0}})pt(\bmod {{p}^{2}}). \] Đây là cơ sở của bổ đề Hensel, dùng để chứng minh tồn tại hoặc đếm số nghiệm của PT đồng dư với modulo là lũy thừa của số nguyên tố. =p~ |
Trích:
|
Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:36 PM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.