Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Lý Thuyết Số (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=40)
-   -   Bổ đề tiếp tuyến trong đồng dư đa thức (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=51479)

fatalhans 29-11-2017 07:50 PM

Bổ đề tiếp tuyến trong đồng dư đa thức
 
Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $m$ là số nguyên dương, $x$ là số nguyên thỏa $x \equiv a\pmod m$, chứng tỏ rằng
\[P(x) \equiv P(a) + (x - a)P'(a)\pmod{m^2}.\]

huynhcongbang 03-12-2017 02:22 AM

Bổ đề này em có thể chứng minh bằng các kết quả sau:

Với mọi đa thức nguyên $P(x)$ và $a\ne b$ nguyên thì $a-b|P(a)-P(b)$.

Nếu $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ và $k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thì $\frac{{{P}^{(k)}}({{x}_{0}})}{k!}\in \mathbb{Z}$ với mọi ${{x}_{0}}\in \mathbb{Z}$ (do tích của $k$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $k!$, mà đạo hàm cấp $k$ thì chứa các tích đó).

Khai triển Taylor của đa thức tại $x={{x}_{0}}$:
\[P(x)=P({{x}_{0}})+\frac{{P}'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+\frac{{P}''({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots +\frac{{{P}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}.\]

Từ những điều trên, xét $x=a+pt$ với $t\in \mathbb{Z}$ thì dễ dàng có

\[P(x)\equiv P({{x}_{0}})+{P}'({{x}_{0}})pt+\underbrace{{P}''({ {x}_{0}}){{(pt)}^{2}}+\cdots }_{\vdots {{p}^{2}}}\equiv P({{x}_{0}})+{P}'({{x}_{0}})pt(\bmod {{p}^{2}}). \]

Đây là cơ sở của bổ đề Hensel, dùng để chứng minh tồn tại hoặc đếm số nghiệm của PT đồng dư với modulo là lũy thừa của số nguyên tố. =p~

Thụy An 26-02-2018 03:26 PM

Trích:

Nguyên văn bởi fatalhans (Post 212728)
Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $p$ là số nguyên tố và $x \equiv a\pmod p$, chứng tỏ rằng
\[P(x) \equiv P(a) + (x - a)P'(a)\pmod{p^2}\]

Do tính đóng của các phép toán số học với quan hệ đồng dư, nên thực chất bổ đề này chỉ cần chứng minh với trường hợp $P(x)=x^n$. Lúc đó, chỉ cần viết ra hằng đẳng thức sau là thấy ngay\[{x^n} = {a^n} + \left( {x - a} \right)n{a^{n - 1}} + \left( {x - a} \right)\sum\limits_{1 \le k \le n - 1} {\left( {{x^k} - {a^k}} \right)a^{n-k-1}} .\]


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:36 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 5.38 k/5.72 k (5.89%)]