Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

123456 · 22-01-2021, 04:38 PM

Do $v(a) =0$, nên $v(x) = -\int_x^a v'(t) dt$. Dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
$$v(x)^2 = \Big(\int_x^a -v'(t)\sqrt{t} \frac1{\sqrt{t}} dt\Big) \leq \Big(\int_x^a (v'(t))^2 t dt\Big)^{\frac 12} \Big(\int_x^a \frac 1t dt\Big)^{\frac 12} \leq \Big(\ln \frac a x\Big)^{\frac 12}\Big(\int_0^a (v'(t))^2 t dt\Big)^{\frac 12}.$$
Do đó
$$\sup_{0\leq x\leq a}x v(x)^2 \leq \int_0^a (v'(t))^2 t dt \sup_{0\leq x \leq a} x \ln \frac ax \leq C \int_0^a (v'(t))^2 t dt,$$
do $x \ln a/x$ là hàm bị chặn trên $(0,a]$.

22-01-2021, 04:38 PM	#2
123456 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts	Do $v(a) =0$, nên $v(x) = -\int_x^a v'(t) dt$. Dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$v(x)^2 = \Big(\int_x^a -v'(t)\sqrt{t} \frac1{\sqrt{t}} dt\Big) \leq \Big(\int_x^a (v'(t))^2 t dt\Big)^{\frac 12} \Big(\int_x^a \frac 1t dt\Big)^{\frac 12} \leq \Big(\ln \frac a x\Big)^{\frac 12}\Big(\int_0^a (v'(t))^2 t dt\Big)^{\frac 12}.$$ Do đó $$\sup_{0\leq x\leq a}x v(x)^2 \leq \int_0^a (v'(t))^2 t dt \sup_{0\leq x \leq a} x \ln \frac ax \leq C \int_0^a (v'(t))^2 t dt,$$ do $x \ln a/x$ là hàm bị chặn trên $(0,a]$.