Lời giải cho 3 đẳng thức đầu tiên bằng công cụ là chuỗi số. Vì $0 \le x <1$, ta có: $$\frac{\sin \pi x}{\pi x}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{x^2}{n^2} \right )$$ Lấy $\ln$ cẩ 2 vế, ta thu được: $$\ln \frac{\sin \pi x}{\pi x} =\sum_{n=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{x^2}{n^2} \right )$$ Sử dụng khai triển Taylor cho hàm số $\displaystyle \ln(1-z)=-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}x^m$, có được $\displaystyle \ln(1-\frac{x^2}{n^2})=-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}\frac{x^{2m}}{n^{2m} }$. Do đó, $$\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1-\frac{x^2}{n^2})=-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m} \frac{x^{2m}}{n^{2m}}$$ Dễ thấy chuỗi kép trên hội tụ, do đó: $$\begin{align*} &-\ln\frac{\sin \pi x}{\pi x}=-\sum_{n=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{x^2}{n^2} \right )=\sum_{m=1}^{\infty}\left ( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2m}} \right )\frac{x^{2m}}{m}\\ &= x^2.\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}+\frac{x^4}{2}.\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}+\frac{x^6}{3} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^6}+... \,\ (1) \end{align*}$$ Mặt khác, sử dụng khai triển Taylor, ta lại được: $$\begin{align*} -\ln \frac{\sin \pi x}{\pi x} &=-\ln\left [ 1-\left ( \frac{\pi^2 x^2}{2!} -\frac{\pi^4 x^4}{4!}+\frac{\pi^6 x^6}{6!}+...\right ) \right ] \\ &= \left ( \frac{\pi^2 x^2}{2!} -\frac{\pi^4 x^4}{4!}+\frac{\pi^6 x^6}{6!}+...\right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{\pi^2 x^2}{2!} -\frac{\pi^4 x^4}{4!}+\frac{\pi^6 x^6}{6!}+...\right )^2+...\\ &= \frac{\pi^2}{3!}x^2+\left ( -\frac{\pi^4}{5!} +\frac{\pi^4}{2.(3!)^2}\right )x^4+\left ( \frac{\pi^6}{7}-\frac{\pi^6}{3!.5!}+\frac{\pi^6}{3.(3!)^3} \right )x^6\\ &=\frac{\pi^2 x^2}{6}+\frac{\pi^4 x^4}{180}+\frac{\pi^6 x^6}{2835}+... \,\ (2) \end{align*}$$ Cho vế trái của (1) và (2) bằng nhau, ta có: $$\frac{\pi^2 x^2}{6}+\frac{\pi^4 x^4}{180}+\frac{\pi^6 x^6}{2835}+... =x^2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\frac{x^4}{2}\sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}+\frac{x^6}{3}\sum_{n= 1}^{\infty}\frac{1}{n^6}+...$$ So sánh hệ số của số hạng có chưa $x$, ta thu được các đẳng thức: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} , \,\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}, \,\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^6}=\frac{\pi^6}{945} .$$ [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] __________________ ...THE MILKY WAY... thay đổi nội dung bởi: magician_14312, 09-07-2012 lúc 10:37 PM |