[leeleex]

Nguyên văn bởi leeleex

Bài 1. Cho 5 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại 4 điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.

TH1. Bao lồi của 5 điểm đã cho là ngũ giác lồi thì luôn tồn tại 4 điểm là đỉnh tứ giác lồi.
TH2. Bao lồi của 5 điểm đã cho là tứ giác lồi thì luôn tồn tại 4 điểm là đỉnh tứ giác lồi.
TH3.Bao lồi của 5 điểm đã cho là tam giác ABC$\Rightarrow $D,E là 2 điểm trong của tam giác ABC, tồn tại 2 điểm (chẳng hạn B,C) cùng phía đường thẳng DE. Ta có tứ giác lồi DEBC.

------------------------------

Nguyên văn bởi leeleex

Bài 2. Chứng minh một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi 4 đỉnh tùy ý của nó là các đỉnh của một tứ giác lồi.

Điều kiện cần: hiển nhiên.
Điều kiện đủ:
Giả sử 4 đỉnh tùy ý của H là tứ giác lồi, H không phải đa giác lồi$\Rightarrow $
bao lồi F của H là đa giác lồi chứa điểm A bên trong. Chia F thành các tam giác bởi các đường chéo $\Rightarrow $ A là điểm trong của tam giác BCD $\Rightarrow $ ABCD không phải tứ giác lồi (mâu thuẫn).

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]