Trước hết ta cần 3 bổ đề
Bổ đề 1 :Cho tam giác $ABC.P $ là 1 điểm tùy ý trong tam giác $A_1B_1C_1 $ là tam giác Pedal của $P.F $ là điểm $\textbf {Fontene} $ của $P $.Trên đường cao hạ từ $A $ lấy điểm $Q $ sao cho $AQ = PA_1 $ thì khi đó đường tròn đường kính $QA_1 $ đi qua $F $
Chứng minh
+Gọi $A_2;B_2;C_2 $ lần lượt là trung điểm của $BC;CA;AB $
+Ta có qua phép đối xứng trục $B_2C_2 : (AP) \mapsto (QA_1) $.Đặt $U;V \equiv (AP) \cap (QA_1) \Rightarrow B_2;C_2;U;V $ thẳng hàng.$L \equiv B_2C_2 \cap B_1C_2 $ theo định lý $\textbf {Fontene} $ thì $L;F;A_1 $ thẳng hàng
+Tới đây ta nhận được $\overline{LU}.\overline{LV} = \overline{LC_1}.\overline{LB_1} = \overline{LF}.\overline{LA_1} $.Hoàn tất bổ đề
Bổ đề 2:Gọi $P' $ là điểm đẳng giác liên hợp của $P.A_3B_3C_3 $ là tam giác Pedal của $P' $ thì đường thẳng simson của $F $ đối với tam giác $A_3B_3C_3 $ song song với $OP $
*Sẽ post cách chứng minh bổ đề này sau
Bổ đề 3:Cho $\triangle ABC $ nội tiếp $(O).E;F $ là 2 điểm thuộc $(O) $ thì góc giữa 2 đường thẳng $\textbf{Simson} $ của $E;F $ đối với $\triangle ABC $ bằng nửa số đo cung $EF $
TRỞ LẠI VỚI BÀI TOÁN:
+Gọi $ \triangle A_2B_2C_2 $ là tam giác Pedal của $P $
+Đường thẳng vuông góc với $XM $ tại $X $ cắt $BC $ tại $R.J $ là xuyên tâm đối của $A_1 $ trong đường tròn Pedal.Theo bổ đề 2 thì $PJ = QA_1 \Rightarrow JM = constant $ và $\triangle JXM \sim \triangle RXA_1 \Rightarrow \dfrac {RA_1}{JM} = \dfrac {XA_1}{JX} = tan{\widehat{XJA_1}} $
+Ta sẽ chứng minh góc $\widehat{XJA_1} = constant(*) $ Số đo cung $XA_1 $ gấp đôi góc giữa đường thẳng Simson của $X;A_1 $ đối với $\triangle A_2B_2C_2 $ (Bổ đề 3).Mặt khác thì theo bổ đề 2 $OQ $ song song với đường thẳng Simson của $X $ đối với $\triangle A_2B_2C_2 $(Ta gọi đường thẳng này là $d $).Vậy để chứng minh $(*) $ ta sẽ chứng minh $(d;OQ) =constant $ hay nói cách khác là chứng minh $(d;BC) =constant(**) $
+Ta có $(d;BC) = \widehat{C_2A_2B_2} + 2 \widehat{B_2A_2A_1} - \dfrac{\pi}{2} = \widehat{QBC} + \widehat{QCB} +\dfrac {\pi}{2} - 2\widehat{QCB} = constant $.Tới đây ta nhận được $(**) $.Vậy $R $ cố định.đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]